应用题第17讲_三角形或六边形阵列 知识图谱
-三角形 多边形阵列三角形阵列六边形阵列应用题第17讲_三角形或六边形阵列
错题回顾
三角形 多边形阵列
知识精讲
1．1个n层实心的三角形阵列，总人数为：2．类比方阵的计算方法，注意特殊位置．
三点剖析
重难点：复杂阵列的计算．
．
题模精讲
题模一 三角形阵列
例1.1、
高思小学的学生排成了一个每边为10人的三角阵，请问最外层有多少人？最里层有多少人？共有多少层？
答案：
27，55
解析：
人，共有
人．
最外层有
例1.2、
如图，一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池构成．现在要在草地上种花，要求在草地与草地的公共点都种上（即图中的A、B、C点），且每块草地上的花朵排成了一个三角形点阵，每条边上有8朵花．那么，整个绿地一共要种__________朵花．
答案：
105
解析：
因为每块草地上的花朵排成了一个三角形点阵，每条边上有8朵花，所以每块草地种绿地一共要种
例1.3、
朵花．三块草地共有3个顶点重合，所以整个朵花．
如图，这是一些棋子摆成的正三角形点阵，和“空心方阵”类似，也可以有“空心三角阵”．
（1）如果有一个5层的空心三角阵，最外层每边有20个棋子，那么一共有多少枚棋子？
（2）如果一个空心三角阵共有294枚棋子，那么它最多有多少层？
（3）如果一个空心三角阵共有294枚棋子，不止一层，那么它的最外层最多有多少枚棋子？
（4）已知一个空心三角阵共有108枚棋子，如果增加42枚棋子后可以让它增加一层，请你表示出如何增加这42枚棋子．
答案：
（1）195枚（2）7层（3）87枚（4）中心用7枚补一条边，外面用35枚补两条边
解析：
枚棋子．观察可
（1）最外边每边是20枚棋子，那么最外层有
知，每往里一层减少9枚棋子，那么从最外层向内依次为48枚、39枚、30枚、21枚，总和为
枚．
（2）要让层数尽量多，最内层的棋子数应该尽量少，首先用最内层1枚棋子的情况估算一下，不会超过9层，可以从8层开始往下讨论，发现7层是符合条件的，那么它就是最大的情况．
（3）最外层要尽量的多，也就是说层数要尽量的少，从2层开始讨论，发现4层的时候的符合条件的，最里层是60，最外层是
．
（4）首先通过分类讨论层数计算出来108枚可以摆成最内层每边10枚的三层三角形，最外层每边16枚，如果只在里面加一层，那么棋子会多，如
果在外面加一层，那么棋子不够，所以是另外一种加法：在里面加一条边，花去7枚棋子，然后在外面加两条边，花去35枚棋子，42枚正好用完．
题模二 六边形阵列
例2.1、
在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图中的阵列类似．从外向内一共8层，依次站着两层六年级的同学、两层五年级的同学、两层四年级的同学以及两层三年级的同学．已知参加表演的六年级同学有126人，请问： （1）最外层有多少人？
（2）现在阵列中一共有多少人？
（3）如果想要让一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？
答案：
（1）66人（2）360人（3）37人
解析：
（1）“相邻两层，总数差6”，所以六年级排成的两层差为6人，而六年级总数是126人．由和差问题的知识可得，最外层有
人．
（2）“相邻两层，总数差6”，各层人数是公差为6的等差数列．一共8层，分别是：66，60，54，48，42，36，30，24．由等差数列求和公式，得总人数是
人．
人．如果要把阵列填满，
（3）现在最里层有24人，正好每边
再往里分别得加每边4、3、2、1人的六边形阵列．总人数分别是18、12、6、1人，所以总共
例2.2、
人．
五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于8；如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心．请判断：五年级参加广播操比赛的一共有__________人．
答案：
260
解析：
人．设乙方阵边长为a，则第二队有
的方阵，即
人，两队之和再
，解得
易知第一队有
加上第一队人数可排成边长为
，第二队有人．
人，五年级参加广播操比赛的一共有
随堂练习
随练1.1、
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