计量教案（7随机解释变量）

第七章 随机解释变量

按照经典的回归分析理论，回归模型中的解释变量是非随机的，其取值都是事先精确给定的，并且还假定解释变量与随机误差项不相关。然而，在实际问题中，这种假定往往是难于满足的，经常存在着违背这种假设的情况。本章将要讨论的就是线性回归模型中的解释变量是随机的，而非确定性变量的问题。

本章的目的与要求

通过本章学习，要求重点掌握的内容是：

1．了解随机变量产生的原因，充分理解当线性回归模型的解释变量为随机的情形下可能产生的后果；

2．熟练掌握检测随机解释变量的各种方法以及在此情形下相应的处理与估计改进方法。从而能够运用这些知识处理经济计量分析实践中的相应问题。

本章内容（计划学时 ）

一、随机解释变量产生的原因及后果 （一）随机解释变量产生的原因 （二）随机解释变量问题的后果 二、误差变量模型 （一）误差变量模型的含义 （二）误差变量模型的性质 三、工具变量法 （一）工具变量的概念 （二）工具变量的原理 （三）测量误差的检验 （四）工具变量的选择

学习重点

一、随机解释变量的后果 二、误差变量模型的概念与性质 三、工具变量法的原理 四、测量误差的检验

学习难点

一、随机解释变量的后果 二、误差变量模型的性质

三、工具变量法的原理 四、测量误差的检验

第一节 随机解释变量的原因及其后果

一、随机解释变量产生的原因

1、由于存在观测误差，使得解释变量具有一定的随机性。 2、被解释变量的滞后性；

3、经济变量的取值（观测值）往往难以人为控制，其取值往往难以十分精确； 二、随机解释变量问题的后果

对于解释变量是随机变量的线性回归模型，其参数的估计倘若仍使用普通最小二乘法，

?既不是β的无偏估计，也不是β的一致估计。 估计得到的? 线性回归模型：

Yi = βXi + ui , （式7－1.1）

式中仍假设随机误差项ui具有零均值和常数方差，即假定E（ui） = 0、Var( ui ) = σ2，且Xi是随机变量。对此使用普通最小二乘法，可得回归系数β的估计量为：

?＝?XiY ?1?Xi2 ＝?Xi(?1Xi?ui)2i?X?Xi

??1?Xi2＋?Xiui2i

??1Xu???X2ii????(Xi)ui 2?Xi 如果随机解释变量Xi与随机误差项ui是相互独立的，那么就有

XiXi E[()u]?E()E(ui)?0 （式7－1.2） i22?Xi?Xi 从而

?)?E(?)?E[(Xi)u]= β （式7－1.3） E(??i2X?i 这时，回归系数的普通最小二乘估计仍然是无偏估计。

若随机解释变量Xi与随机误差项ui不独立，但却不相关，有Cov( Xi , ui ) = 0，

Xu? 由于

iin是Xi与ui协方差的一致估计量，即当样本容量n→ ∞时，估计量

?Xuiin 接

近于Cov( Xi , ui ) = 0的概率为1，称 记为 plim

?Xuiin 的概率极限为Cov( Xi , ui ) = 0，

?Xuiin= Cov( Xi , ui ) = 0

?的概率极限为 所以，??= β + plim?plim(?Xiui/n)plim(?X/n)2i= β

?仍是β的一致估计。 表明在Xi与ui不相关时，普通最小二乘估计量? 如果随机解释变量Xi与随机误差项ui具有相关性，则Cov( Xi , ui ) ≠ 0，那么E（≠ 0，以及

?Xuiin）

?Xuiin的概率极限不为0，即plim（

?Xuiin）≠ 0，所以

?)?E(???Xiui)≠ β E(??Xi2?= β + plim?plim(?Xiui/n)plim(?Xi2/n)≠ β

?既不 这表明当随机解释变量Xi与随机误差项ui具有相关关系时，普通最小二乘估计量?是β的无偏估计，也不是β的一致估计。

第二节 误差变量模型

一、误差变量模型的概念

解释变量含有观测误差的模型称为误差变量模型。 二、误差变量模型的性质

模型参数的估计量将是有偏的和不一致的。

在样本模型y = β0 + β1 x + e中，解释变量x与被解释变量y的观测值假设无法准确得到，总是存在观测误差，有 x* = x + v y* = y + w

其中v与w都是观测误差，并设二者均同样满足零均值、同方差、且二者都不与 x 和 y 相关的假定，即有：

E( v ) = 0 E( w ) = 0 Var( v ) = σv2 Var( w ) = σw2

Cov( v，x ) = 0 Cov( w，x ) = 0 Cov( v，y ) = 0 Cov( w，y ) = 0 将实际观测变量 x*= x + v 与y*= y + w 代入

? +?? x + e （式7－2.1） y =?10 得：

? ( x*－v ) + e ? +? y*－w = ?10? x* + e + w –??v ? +? y* =?110?v ,上式可写成 记 e*= e + w –?1?x* + e* （式7－2.2） ? +? y* =?10 在此一元线性回归模型中,随机误差项e*（在e*中仅有v与x*有关)与解释变量x*之间的协方差为：

?v , x + v ) = –??σv2 Cov( e*, x* ) = Cov( –?11 由于随机误差项e*与解释变量x*之间的协方差不等于0，说明了随机误差项e与解释变量x之间存在着相关性，所以，如果仍然使用普通最小二乘法对模型（式7－2.2）进行估计，则模型参数的估计量将是有偏的和不一致的。

第三节 工具变量法

一、工具变量法的概念

找一个与模型中的随机解释变量高度相关，但却与随机误差项不相关的变量，并用此变量和模型中的变量构造出一个与原模型相应回归系数的一个一致估计量。这个变量就是工具变量，用Z表示，这种方法就是工具变量法。即 Cov( Z , x ) ≠ 0 （甚至越大越好） Cov( Z , e ) = 0 二、工具变量法的原理

1、不含截距项β0的一元线性回归模型

Y = β1X + u （式7－3.1） 其β1的普通最小二乘估计是由下式得到的

?X ）= 0 （式7－3.2） ∑X（Y－?1?＝? 且 ?1XY?X2 （式7－3.3）

这里主要是假设了X与u不相关的结果。如果X与u相关，就无法再使用这个公式进行

估计了。但是，倘若我们找到一个与模型中的随机解释变量X高度相关，但却与随机误差项u不相关的随机变量Z，即

ZX? Cov( Z , X ) = plim≠ 0 （式7－3.4）

n Cov( Z , u ) = plim

n 由于随机变量Z与X高度相关（我们寻找的有此条件的Z），可代替（式7－3.2）的X，

?Zu= 0 （式7－3.5）

将其改变为：

??X）= 0 （式7－3.6） ∑Z（Y－?1??为 解此方程，即得β的工具变量估计量?1??? ?1?ZY （式7－3.7）

?ZXZ(?1X?u)Zu?? （式7－3.8） ZX? 将 Y = β1 X + u 代入（式7－3.7），得

??＝? ?1?ZX＝?1 对该式取概率极限，有

??= β1+ plim?1plim(?ZX/n)plim(?Zu/n)= β1 （式7－3.9）

??是回归系数β1的一致估计量。 这说明了工具变量估计量?1 2、含截距项β0的一元线性回归模型 对于回归模型

Y = β0 + β1 X + u

其普通最小二乘估计的标准方程组是：

?X）= 0 （式7－3.10） ?－? ∑（Y －?10?X）= 0 （式7－3.11） ?－? ∑X（Y －?10 同样的，模型中的解释变量X是随机的且与随机误差项u相关，我们已找到随机变量Z与X相关，但与u不相关，则上述标准方程组的第二式的乘积因子X可替换成 Z，将标准方程组改写为：

??X）= 0 （式7－3.12） ??－? ∑（Y －?10??X）= 0 （式7－3.13） ??－? ∑Z（Y －?10

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