高考解析几何试题研究(1)

高考解析几何试题研究

学生姓名：吕丽娜 指导老师：杨慧

摘要： 解析几何是高考数学的一个重要内容，本文主要通过对近年来经典高考试题的分类研究，总结出了高考试题的一些基本特点，针对这些特点，提出了解题时需注意的问题及备考建议，本文的一大创新就是对试题的点评。

关键词： 高考试题 基本特点 解题技巧 备考建议

解析几何是高考数学的一个重要内容，也是高考的重点、热点和难点，其特点是用代数的方法研究解决几何问题，重点是用“数形结合”的思想把几何问题转化为代数问题，可与代数、三角、几何知识相通。在近几年的考试中，高考基本为2-3道客观题和一道解答题，而在2012年的18套高考解析几何试题中，经统计，每套平均分值达27.3分。其中江苏卷、上海卷、辽宁卷、全国卷1中，解析几何分值最大，平均约为31.4分，解答题除福建卷（第2题）与四川卷（压轴题）外，其余均在倒数第二题或第三题位置上，平均分值约为13分。

解析几何的主要内容涉及：解析几何初步（直线与圆）,圆锥曲线，坐标系与参数方程。解析几何的命题既注重对解析几何基础知识的考查，又常与函数、方程、不等式、三角函数、平面几何、数列、向量相结合，通过处理一些常见的轨迹、最值、对称、范围、坐标系与参数方程等问题来考查学生的数学综合能力.因其综合性强，运算要求较高，学生在解答解析几何问题时，往往失分较。下面将从不同的方面对高考解析几何试题进行研究。 一 、高考解析几何考点分布及考纲变化

2012年全国新课标高考解析几何考点分布统计表

考点分布 山东 广东 全国课标 直线与圆 理16文16 椭圆基本性质 双曲线基本性质 文6 理15 理12 文13 江苏 辽宁 天津 安徽 浙江 福建 北京 陕西 9 15 文14 文4 文7 文11 理12文5 6 理9文9 理5 理5 理8文18 理7文13 文13理13 1

抛物线基本性质 直线与椭圆 直线与双曲线 直线与抛物线 圆锥曲线综合 文9 理7文7 理28文28 文12 理13 理2 理8文9 理28文28 文22 理26文28 18 理20文21 理19文17 理21 理17 文19理19 理28 文22 理21 文22 文19 文13 参数方程 与极坐标 文15理15 理23文23 23 理23文23 理13 理7 理23 理5 从全国新课标地区高考试题考点分布情况来看，新课程高考仍然注重对基础知识，基本技能和数学思想方法的考查，试卷结构相对稳定，一直稳定在二（或三）个选择题、一个填空题和一个解答题上，选择、填空题重点考查直线与圆、圆锥曲线基本问题、曲线与方程，解答题以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，与相应的数学思想方法相结合进行综合考查。

考纲变化方面，近年来, 《新课标》对解析几何部分的要求相对于《大纲》有明显的变化，整体要求有所降低,部分内容有所删减，但能力方面的要求却有所提高。

1.考纲内容的变化及要求

(1)《大纲》要求掌握两条直线所成的角，对两条平行直线间的距离不作明确要求；而《课标》对两条直线所成的角不作要求，但要求“会求两条平行直线间的距离”。

(2)《大纲》要求掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质；而《课标》在该处的要求分了两个层次：文科要求：掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质；了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质。理科要求：掌握椭圆、抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质;了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。 (3)《课标》对椭圆、双曲线第二定义不作要求。 (4)《大纲》要求理解椭圆和圆的参数方程。

2.就解析几何的具体考点而言，从以上考点分布看，考纲的侧重点清楚地显示

(1)直线问题的试题侧重于：与直线的特征值(斜率、截距)有关的问题；直线平行、垂直的条件；与距离有关的问题，这类问题的主要题型是选择题和填空题。

(2)直线方程与一次函数解析式的联系是代数知识、解析几何知识的交汇点，借助直线方程解决有关线性规划、函数、不等式、数列问题的试题属于情景新颖的试题。

(3)圆锥曲线试题涉及圆锥曲线的概念、性质及其应用；如曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，参数范围的讨论，对称问题，最值问题，存在性问题，这些试题抽象程度高，运算难度大，还可考查学科内知识综合运用能力，是数学压轴试题的首选之一。

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3.重新界定了能力要求，第四种能力改为实践能力，增加创新意识的考查要求

(1)思维能力方面要求会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用演绎、归纳和类比进行推理，能合乎逻辑地、准确地进行表述。

(2)运算能力方面要求会根据法则、公式进行正确运算、变形和处理数据，能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算。

(3)空间想象能力方面要求能根据条件做出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确的分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象揭示问题的本质。

(4)实践能力方面要求能综合运用数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题；能够对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；会应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述、说明。 (5)创新意识要求对新颖的信息、情景和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应 用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考，探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题。

由考纲对能力重新界定可见，试题对考生解题过程中，知识的运用，方法的确定，算法的选择，创新的意识等素质提出了明确要求。

二、高考解析几何试题中对基础知识的考查 1、直线与圆

这一部分内容中，高考主要涉及到直线与圆的相关概念,如倾斜角与斜率、距离公式、直线方程、 对称问题、直线与圆位置关系判定等,其中直线与圆的位置关系是这部分高考的重点和热点, 涉及利用三种位置关系求参数的取值范围、轨迹、切线长、弦长, 弦的中点、夹角等.

例1(2010年重庆理 8题) 直线直线 y =3x+2与圆心为D的圆 3??x?3?3cos?(?????0,2??)

??y?1?3sin?交于A 、B两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（ ）

A. ? B. ? C. ? D. ?

76564353 解：由已知得圆D：x?3??2??y?1??3

2如图一，取A、B的中点为H, 直线HD交横轴与F. 则DH?AB,而直线的倾斜角为

??，即?ACF?,直线CD

66图一 3

的倾斜角为?，又直线AD与BD关于直线HD对称，故直线AD与BD的倾斜角之和为?。 点评：本题的常规解法是分别求直线的倾斜角, 然后求和, 上述解法充分运用对称性, 起到简化的作用. 解题关键是将圆的参数方程转化为普通方程。 2、直线与圆锥曲线

圆锥曲线的定义、方程、几何性质是本部分的基石。故每道题都要涉及，熟练掌握基础知识是解题的关键，如离心率的求解一般是求出a、b、c的值，或找到关于a、b、c的齐次方程。而直线与圆锥曲线的位置关系一也直是高考命题的热点, 基本方法是联立方程, 利用判别式、 韦达定理，“设而不求 ”, 这类综合题中常涉及的问题有弦长问题, 面积问题, 对称问题, 轨迹问题, 定点、 定值问题, 解答要注重通性通法.

引理1：已知圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线), 过其焦点F 作直线与曲线交于A、B两点, 与x 轴的夹角为????2343?????，焦点分弦所成的比为????1?，则 2?e???11。

??1cos?AFFB?????1?,过A证明：以椭圆为例，如图二，不妨设

作AA1?l，垂足为A1,过B作BB1?l，垂足为B1,由椭圆的第二定义得

AFAA1?e，所以AA1?AFe，同理，

BFBB1?e,所以

图二 BB1?BFe，在Rt?ABG中，

AG?AA1?BB1, AB?AF?BF,

cos??AGAB?AA1?BB1AF?BF?1AF?BF1??1?.

eAF?BFe??1所以e???11.

??1cos?2?1(a?b?0)的左焦点F,过点F的直线b?与椭圆C相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60，AF?2FB

a例2 ( 2010 年辽宁理20题) 设椭圆C ：xy?2 （1）求椭圆C的离心率。

4

（2）如果AB?15,求椭圆C的方程 4AFBF?2 代入上式得

解：（1）由引理1得此题中??e?2?112 ??2?1cos603分析：本题联立方程组，运算量大，回到定义中去，灵活应用圆锥曲线的第二定义，问题迎刃而解。

（2）由（1）知，e?c225?,则c?a,b?a,设直线l的方程为y?3?x?c?,联立方程组 a333?y?3?x?c??2 ?xy2?2?2?1b?a得

?3a把c?2?b2?y2?23b2cy?3b4?0

25a,b?a 代入整理得96y2?203ay?25a2?0 335325a,y1y2??a22496由韦达定理得：y1?y2??因为AB?1?15?y1?y2??a?15,所以a?3,b?5 34x2y2故椭圆C的方程为??193分析: 直线与圆锥曲线的位置关系主要考查三种题型: 一是判断已知直线与已知曲线的位置关系;

二是根据直线与圆锥曲线的位置关系,求直线或曲线方程的参数问题; 三是求直线与圆锥曲线相交时所得弦长、 弦的中点及轨迹问题等. 解答此类问题的一般方法是将联立方程组消元化为二次方程, 利用判别式与韦达定理来求解。

三、高考解析几何关于综合能力的考查 1、范围问题

求范围的基本思路为:（1）利用函数. 将所求范围的变量表示为某一个变量的函数(注意定义域), 然后转化为求函数的值域.（2）建立方程或不等式. 根据条件寻找变量所满足的方程或不等式

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