常微分期末考试试题和答案1

《 常微分方程 》期末考试试卷（1）

班级 学号 姓名 成绩

题号 分数 一 二 三 总分 得分

.

一、填空（每格3分，共30分）

N(,x?)yd有y只与x有关的积分因子的充要条件

1、方程M(x,y)d?x是 。

2、若x1(t),x2(t),?,xn(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件

是 。

3、若?(t)和?(t)都是x?A(t)x的基解矩阵，则?(t)和?(t)具有的关系是

_____________________________。

4、函数f(x,y)称为在矩形域Ｒ上关于y满足利普希兹条件，如

果 。 5、当 时，方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0称为恰当方程，

或称全微分方程。

6、若?(t)是x??A(t)x的基解矩阵，则x??A(t)x?f(t)满足x(t0)??

的解 。

(n)(n)7、若xi(t)(i?1,2,?,n)为n阶齐线性方程x?a1(t)x???an(t)x?0的n个线性无关解，

'则这一齐线性方程的通解可表为 。 8、求

dydx=f(x,y)满足y(x0)?y0的解等价于求积分方程 的解。

dydx?f(x,y)存在唯一

9、如果f(x,y)在R上 且关于y满足李普希兹条件，则方程

的解y??(x)，定义于区间x?x0?h上，连续且满足初始条件?(x0)?y0，其中

h? ，M?max

(x,y)?Rf(x,y)。

1

得分

二、计算题(每题10分,共50分)

dydx?1?y2210、求方程 11、求方程

xy?xy2 的解。

dydx?x?y通过点(1,0)的第二次近似解。

12、求非齐线性方程x???x?sint的特解。 13、求解恰当方程 (y?3x2)dx?(4y?x)dy?0。 14、求伯努利方程

dydx?6yx?xy的通解。

2得分

三、证明.（20分）

?215、1)试验证初值问题x?????11???1??x，?(0)??????的解为: 4??2??(t)?e3t??1?t(??1??2)???; ??2?t(??1??2)?2）求该微分方程组的expAt。

试卷（1）答案

一、填空（每格3分，共30分）

1、方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有只与x有关的积分因子的充要条件

?M?N?N?x??(x)。

是

?y2、若x1(t),x2(t),?,xn(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件 是w[x1(t),x2(t),?,xn(t)]?0。

2

3、若?(t)和?(t)都是x?A(t)x的基解矩阵，则?(t)和?(t)具有的关系是

'，(a?(t)??(t)C?t?b)C为非奇异常数矩阵。

4、函数f(x,y)称为在矩形域Ｒ上关于y满足利普希兹条件，如果 存在常数Ｌ>0，对于所有

(x1,y1),(x2,y2)?R都有使得不等式f(x1,y1)?f(x2,y2)?Ly1?y2成立。

5、当

?M?y??N?x时，方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0称为恰当方程，或称全微分方程。

6、若?(t)是x??A(t)x的基解矩阵，则x??A(t)x?f(t)满足x(t0)??

的解x(t)??(t)?(t0)???(t)???1(s)f(s)ds。

t0(n)(n)7、若xi(t)(i?1,2,?,n)为n阶齐线性方程x?a1(t)x???an(t)x?0的n个线性无关解，

?1tn则这一齐线性方程的通解可表为x(t)?dydx?ci?1ixi(t)，其中c1,c2,?,cn是任意常数。 x8、求

=f(x,y)满足y(x0)?y0的解等价于求积分方程y=y0+?f(x,y)dx的解。

x09、如果f(x,y)在R上 连续 且关于y满足李普希兹条件，则方程

dydx?f(x,y)存在唯一的

解y??(x)，定义于区间x?x0?h上，连续且满足初始条件?(x0)?y0，其中

h?min(a,bM)，M?max

(x,y)?Rf(x,y)。

二、计算题(每题10分,共50分) 10、求方程

dydx?1?y22xy?xy 的解。

1?y22y(x?x)

dy解：原式可化为 dx分离变量得

ydy1?y2??dxx(1?x)

3

两边积分后

12ln1?y2?lnx?ln1?x?c1

即(1?y2)(1?x)2?cx2

故原方程的通解为 (1?y2)(?1x11、求方程

dydx?x?y22)?cx

2通过点(1,0)的第二次近似解。

解：令?0(x)?0 则 ?1(x)?y0?

?2(x)?y0?x?x1(x?y0)dx?2?x1xdx?12x?212

?1[x??1(x)]dx?2?x11212121513111[x?(x?)]dx?x?x?x?x?222206430

12、求非齐线性方程x???x?sint的特解。 解：线性方程x???x?0的特征方程?又f(t)?sint，

2?1?0，故特征根???i。

??i是特征单根，所以原方程有特解x?t(Acost?Bsint)，将其

12代入原方程得A??， B=0 。故原方程的特解为x??12tcost。

13、求解恰当方程(y?3x2)dx?(4y?x)dy?0。

解：

?M?y?N?x?1，?1 .

则

?M?y??N?x .

所以此方程为恰当方程。

凑微分，ydx?xdy?3xdx?4ydy?0 得 x?xy?2y?C 14、求伯努利方程

dydx?6yx?xy的通解。

?12232解：这是n=2时的伯努利不等式，令z=y,算得

dzdx??y?2dydx

4

代入原方程得到

dzdx??6xz?x，这是线性方程，求得它的通解为z=

cx6?x28

带回原来的变量y，得到此外方程还有解y=0.

1y=

cx6?x28或者

x6y?x88?c，这就是原方程的解。

三、证明.（20分）

?215、1)试验证初值问题x?????11???1??x，?(0)??????的解为: 4??2??(t)?e3t??1?t(??1??2)???; ??2?t(??1??2)?2）求该微分方程组的expAt。

1）证明：p(?)???21?1??42???6??9?0解得?1,2?3此时 k=1n1?2

?1ti????1?3ti?1?3t?????v ?(t)?e??(A?3E)????e??2??i?0i!???2?2）解：由公式expAt= e?tn?1i??1?t(??1??2)??? ??2?t(??1??2)??i!i?0t(A??E)得

??1????00???11??3t?1?t??t????e?1???11????tt?? 1?t?iexpAt?e3t?E?t(A?3E)??e3t

5

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库常微分期末考试试题和答案1在线全文阅读。