量子力学典型题

1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：?mT?b, b?2.9?10?3m?C。

0证明：由普朗克黑体辐射公式：??d??8?h?c331h?d?，及??cekT?1?、d???c?x2d?得

???8?hc1hc?5，令x?hce?kT?1hc?kT，再由

d??d??0，得?.所满足的超越方程为5?xex用图解

e?1法求得x?4.97，即得

?mkT?4.97，将数据代入求得?mT?b, b?2.9?10?3m?C

01.2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie波长. 解：??hp?h2mE32?7.09?10?100m?7.09A

1.3. 氦原子的动能为E?kT，求T?1K时氦原子的de Broglie波长。

解：

??hp?h2mE?h3mkT?23?12.63?10?100m?12.63A其中

m?4.003?1.66?10?27kg，k?1.38?10J?K?1

1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：

（1）一维谐振子的能量。（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场B?10T，玻尔磁子?B?0.923?10?23J?T?1，求动能的量子化间隔?E，并与

T?4K及T?100K的热运动能量相比较。

解：（1）方法1：谐振子的能量E?p22??12??q可以化为

22p2?2?E?2?????q22?1的平

2E??2????面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为a?2?E,b?2E??2，相空间面积为

?pdq??ab?2?E??E??nh,n?0,1,2,?所以，能量E?nh?,n?0,1,2,?

2??t???速度为 方法2：一维谐振子的运动方程为q????q?0，其解为q?Asin??t???，动量为p??q??A??cos??t???，则相积分为 q??A?cos?pdq?A??22?T0cos2??t???dt?A??222?T0(1?cos??t???)dt?A??T222?nh，

1

n?0,1,2,? ，E?A??222?nhT?nh?，n?0,1,2,?

（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由evB???vR22，得R??veB，再

由量子化条件

?pdq?nh,n?1,2,3,?，以?,p???Rv??R??eBR分别表示广义坐标和相

2应的广义动量，所以相积分为

?p?d???n?eB2?0p?d??2??Rv?2?eBR2?nh，n?1,2,?，由此

得半径为

R?2，n?1,2,?。电子的动能为

?eBR2E??v????22??11?122n??23，动能间隔为??eB?n?B?E??B?9?10J BB?2?eB??23热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为E?kT，所以当T?4K时，E?4.52?10当T?100K时，E?1.38?10?21J；

J。

1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子波长最大是多少？

解：转化条件为h???ec，其中?e为电子的静止质量，而??2c?，所以??h?ec，即有

?max?h?ec??c?6.626?109.1?10?31?3480?3?10?0.024A（电子的康普顿波长）。

2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令

???(r，t)??(r)f(t)???Et ??(r)e?i?** J?(???????)2m ? ?i?2mi?2m?Et???Et???Et*???Et*??[?(r)e?（?(r)e）??(r)e?（?(r)e）]iiiii

??*?*?[?(r)??(r)??(r)??(r)]? 可见J与t无关。

2

2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：(1)?1?1reikr (2)?2?1re?ikr，从所得

结果说明?1表示向外传播的球面波，?2表示向内(即向原点) 传播的球面波。

解：J1和J2只有r分量，在球坐标中 ??r0?????1??1? ?e??e??rr??rsin????i?**(1) J1?(?1??1??1??1)2m ? ?[e2mri?1i?1ikr(e?rr1?1?ikr)?11re?ikr(e?rr1?1ikr?)]r0

[(?2?ik)?(?2?ik2mrrrrrr11?)]r0?k??k? ?r?r203mrmr J1与r同向。表示向外传播的球面波。

???i?(2) J2?(?2??2m ? ?i?i?*2??*2??)1?ikr?1ikr1ikr?1?ikr?[e(e)?e(e)]r02mr?rrr?rr111111?[(?2?ik)?(?2?ik)]r02mrrrrrr

?k??k? ??r??r203mrmr

??J可见，2与r反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。

补充：设?(x)?e ?ikx，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？

??*?dx???dx?? ∴波函数不能按

2???(x)dx?1方式归一化。

2? 其相对位置几率分布函数为 ????1表示粒子在空间各处出现的几率相同。

??，x?0? 0?x?a 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 2.3 一粒子在一维势场 U(x)??0，??，x?a?解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程 ??2d222mdx?(x)?U(x)?(x)?E?(x)

3

在各区域的具体形式为

Ⅰ：x?0 ??2d222mdx?2?1(x)?U(x)?1(x)?E?1(x) ①

Ⅱ： 0?x?a ?d222mdx?2(x)?E?2(x) ②

Ⅲ：x?a ??2d222mdx?3(x)?U(x)?3(x)?E?3(x) ③

由于(1)、(3)方程中，由于U(x)??，要等式成立，必须 ?1(x)?0 ?2(x)?0 即粒子

不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为

d?2(x)dx22?2mE?2?2(x)?0 令k2?2mE?2，得

d?2(x)dx22?k?2(x)?0 其解为 ?2(x)?Asinkx?Bcoskx ④

2根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 ?2(0)??1(0) ⑤

?2(a)??3(a) ⑥

⑤ ?B?0 ⑥

?Asinka?0

?A?0?sinka?0?ka?n? (n ?1, 2, 3,?)n?a2

a2 ∴?2(x)?Asinx 由归一化条件

?

?(x)dx?1 得 A2a2asinn?ax??sin2n?axdx?1

0由

?absinm?ax?sinn?axdx?a2?A??mn ?k2?2mE?2

??2(x)??En???2ma222n ( n ?1,2,3,?)可见E是量子化的。

2i?Ent?2n??sinxe, 0?x?a?对应于En的归一化的定态波函数为 ?n(x,t)??a a? 0, x?a, x?a? 4

2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是A??1a

证：?nn??(x?a), x?a?A?sin 由归一化，得 a??? 0, x?a?1???2?2ndx??a?aA?sinn?aa22n?a(x?a)dx?A?A?2?a12a?a[1?cosA?222(x?a)]dxn?an?a2 ?x?a?A?2?a?acos(x?a)dxa ∴归一化常数A??1a

?A?a??A?a22?n?sin(x?a)?a2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 解：?(x)??2??2?xe122??x2

?1(x)??1(x)

2?4?2??x222??2??xe2??x222? ? 3

??xe

d?1(x)dx ?2?3?1[2x?2?x]e23??x22 令

d?1(x)dx ?0，得

x?0 x??? x???

x???时，?1(x)?0。显然不是最大几率的位置。 由?1(x)的表达式可知，x?0 ，而

d?1(x)dx322 ?2?3?22[(2?6?x)?2?x(2x?2?x)]e44??x2222223??x22?24?

? [(1?5?x?2?x)]ed?1(x)dx2??2x??124?31?e?0， 可见x??1??????是所求几率最大的位置。

2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(?x)?U(x)，证明粒子的定态波函数具有确定

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