2.1.3两条直线的位置关系 教案（北师大版必修二）

1．3 两条直线的位置关系

(教师用书独具)

●三维目标 1．知识与技能

(1)能根据两条直线的斜率判定平行或垂直．

(2)能运用两条直线的平行或垂直，求直线的方程． 2．过程与方法

通过对两条直线平行、垂直关系的判定，培养学生发现数学规律的思维方法与能力． 3．情感、态度与价值观

学习用数学思维方法解决问题、认识问题，不断提高学习数学的兴趣． ●重点难点

重点：两条直线平行或垂直的判定和性质的应用． 难点：直线无斜率时平行或垂直的关系． 教学时要抓住知识的切入点，从学生原有的认识水平和所需的知识特点入手，引导学生结合初中学习的平面几何知识，不断观察、分析发现平行、垂直的判定，引导学生从倾斜角与斜率的关系入手思考，从而化解难点，强化重点．

(教师用书独具)

●教学建议

在初中学习了平面几何中两直线平行或垂直的判定、性质定理的基础上，本节内容进一步在直角坐标系中根据直线方程特征来判断两直线平行或垂直关系，教学时引导学生从倾斜角与斜率的关系寻找两直线平行或垂直的条件，让学生讨论、探究，总结出两直线平行或垂直的结论．

●教学流程

创设问题情境，提出问题?引导学生回答问题，归纳、理解平行或垂直的有关结论?通过例1及变式训练，使学生掌握两直线平行、垂直的判定方法?通过例2及互动探究，使学生掌握利用垂直、平行关系求直线方程?通过例3及变式训练，使学生掌握平行、垂直的综合应用?归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识?完成当堂双基达标，巩固所学知识，并反馈、矫正

课标解读

1.能根据斜率判定这两条直线平行或垂直(重点)． 2．能根据直线平行或垂直，求直线方程(重点). 两条直线平行、垂直的判定 【问题导思】 1．直线y＝x＋1与y＝x－1，它们的斜率分别是多少？它们有什么位置关系？ 2．直线y＝－x与y＝x的斜率是什么？它们有什么位置关系？ 3．直线x＝3和y＝3，有什么位置关系？

【提示】 1.斜率均为1，平行.2.斜率分别为－1,1，垂直.3.垂直．

l1∥l2 l1⊥l2 l1、l2的倾斜角α1、α2间的关系 α1＝α2 |α2－α1|＝90° 图示 若l1、l2的斜率都存在，则l1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2(如图斜率间的关系(若l1、l2的斜率①所示)， 都存在，设l1：y＝k1x＋b1，l2：若l1、l2的斜率都不存在，则y＝k2x＋b2) l1∥l2(如图②所示)或l1与l2重合 若l1、l2的斜率都存在，则l1⊥l2?k1k2＝－1(如图③所示)， 若l1、l2有一条直线的斜率不存在，则l1⊥l2?另一条直线的斜率为0(如图④所示)

两直线平行、垂直的判定 判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由． (1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0； (2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0； (3)l1：x＝2，l2：x＝4； (4)l1：y＝－3，l2：x＝1.

【思路探究】 利用两直线斜率和在坐标轴上截距的关系来判断．

3633

【自主解答】 (1)将两直线方程各化为斜截式：l1：y＝－x＋，l2：y＝－x－.

55510

3633

则k1＝－，b1＝，k2＝－，b2＝－.

55510

∵k1＝k2，b1≠b2，∴l1∥l2.

17

(2)l1：y＝x＋，l2：y＝－2x＋2.

231

则k1＝，k2＝－2，

2

∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2.

(3)直线l1、l2的斜率均不存在，且2≠4. ∴l1∥l2.

(4)直线l1的斜率k1＝0，直线l2斜率不存在． ∴l1⊥l2.

1．判断两直线位置关系应注意斜率不存在的情况． 2．判断两直线平行、垂直的方法

已知点A(2,2＋22)，B(－2,2)和C(0,2－22)可组成三角形，求证：△ABC为直角三角形．

2－?2＋22?2

【证明】 ∵kAB＝＝，

2－2－2

2－22－2kBC＝＝－2，

0－?－2?∴kAB·kBC＝－1， ∴AB⊥BC，

∴△ABC为直角三角形．

利用两直线平行、垂直求直线方程 已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求： (1)过点A和直线l平行的直线方程； (2)过点A和直线l垂直的直线方程．

【思路探究】 利用两条直线的位置关系，设出直线的方程，然后由另一条件确定直线方程．

【自主解答】 法一 ∵直线l的方程为3x＋4y－20＝0，

3

∴kl＝－. 4

(1)设过点A与直线l平行的直线为l1，

3

∵kl＝kl1，∴kl1＝－.

43

∴l1的方程为y－2＝－(x－2)，

4

即3x＋4y－14＝0.

(2)设过点A与直线l垂直的直线为l2，

34

∵kl·kl2＝－1，∴(－)·kl2＝－1，∴kl2＝.

434

∴l2的方程为y－2＝(x－2)，即4x－3y－2＝0.

3

法二 (1)设所求直线方程为3x＋4y＋C＝0， ∵点(2,2)在直线上，

∴3×2＋4×2＋C＝0，∴C＝－14. ∴所求直线方程为3x＋4y－14＝0. (2)设所求直线方程为4x－3y＋λ＝0， ∵点(2,2)在直线上， ∴4×2－3×2＋λ＝0，

∴λ＝－2，即所求直线方程为4x－3y－2＝0.

1．根据两直线的位置关系求出所求直线的斜率，点斜式求解；或利用待定系数法求解． 2．直线方程的常用设法

①过定点P(x0，y0)，可设点斜式y－y0＝k(x－x0)； ②知斜率k，设斜截式y＝kx＋b；

③与直线Ax＋By＋C＝0平行，设为Ax＋By＋m＝0； ④与直线Ax＋By＋C＝0垂直，设为Bx－Ay＋n＝0.

本例中条件“l：3x＋4y－20＝0”改为“l：x＝1”，求相应的直线方程． 【解】 (1)设x－m＝0，则m＝2，∴所求直线方程为x－2＝0； (2)易知l：x＝1的斜率不存在，∴所求直线的斜率k＝0， 所以，所求直线方程为y＝2， 即y－2＝0.

利用两直线的平行、垂直求参数 若直线l1：ax＋4y－2＝0，l2：x＋ay＋1＝0，求：a取何值时，(1)l1∥l2，(2)l1

⊥l2.

【思路探究】 由于l2的斜率未必存在，故应从l2的斜率存在与不存在两种情况入手，分a＝0和a≠0讨论．

a1

【自主解答】 将直线l1化成斜截式方程为y＝－x＋，

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当a＝0时，l2的方程为x＝－1，

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