【命题研究】章 君——一道高考数学压轴题的推广探究

高考理科数学

一道高考题的推广与探究

章 君

福建师范大学数学与计算机科学学院2010级数学与应用数学专业（350108）

1问题的呈现与剖析

问题 （2006 年高考全国卷（Ⅱ）·理22）设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2 anx an 0，有一

2，3， ， 根为Sn 1，其中n 1，

（Ⅰ）略；

（Ⅱ）求{an}的通项公式．

解析（Ⅰ）略．

2

2Sn 1 anSn 0． （Ⅱ）由题设(Sn 1)2 an(Sn 1) an 0，即Sn

又当n 2时，an Sn Sn 1，代入上式得：SnSn 1 2Sn 1 0①．

1112

由（Ⅰ）知：S1 a1 ，S2 a1 a2 ．

22633n

从而由①可得：S3 ，由此猜想Sn (n N*)．

4n 1

下面用数学归纳法证明上述猜想（略）．

评析 本题第（Ⅱ）问是求数列通项的问题．问题本身看似容易，题意也似乎比较容易理解，但实则不然，解起来难度较大，原因在于大多数考生在得到①式之后，无法采用常规方法对其中的Sn直接进行求

a2值的特征而联想到数学归纳法，那么本题就很难得出最终的结果． 解，一旦没有发现a1，

基于此，笔者对①式中Sn的求法作了深入的探究，并将其推广至一般的情形． 2 问题的推广与解决

①式中Sn的求法可推广为如下问题：

设数列{an}的前n项和为Sn满足aSnSn 1 bSn cSn 1 d 0（a，b，c，d R且a 0，n N*且n 2），求Sn．

解 由aSnSn 1 bSn cSn 1 d 0，可得Sn(aSn 1 b) cSn 1 d， 即Sn

cSn 1 d

．

aSn 1 b

x2为方程ax2 (b c)x d 0（*）的两个根，则有如下两种情形： 设x1，

（1）x1 x2，即 (b c)2 4ad 0， 此时有Sn x1 以及Sn x2 由此得

cSn 1 d( c ax1)Sn 1 (bx1 d)

x1 ，

aSn 1 baSn 1 b

cSn 1 d( c ax2)Sn 1 (bx2 d)

x2 ．

aSn 1 baSn 1 b

Sn x1( c ax1)Sn 1 (bx1 d)= Sn x2( c ax2)Sn 1 (bx2 d)

bx1 d

(c ax1)c ax1= ．

bx2 d(c ax2)

Sn 1

c ax2

Sn 1

又由x1为方程（*）的根可得ax12 (b c)x1 d 0， 从而bx1 d x1(ax1 c)．

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同理，有bx2 d x2(ax2 c)． 所以

Sn x1(c ax1)Sn 1 x1

= ． Sn x2(c ax2)Sn 1 x2

Sn x1S xc ax1

是以21为首项，为公比的等比数列． Sn x2S2 x2c ax2

这表明，数列{于是，

Sn x1S2 x1c ax1n 2 ()， Sn x2S2 x2c ax2

x1(S2 x2)(c ax2)n 2 x2(S2 x1)(c ax1)n 2

进而Sn ．

(S2 x2)(c ax2)n 2 (S2 x1)(c ax1)n 2

（2）x1 x2，即 (b c)2 4ad 0．

1 设x1 x2 x0 0，则有Sn x0

从而有

cSn 1 d( c ax0)Sn 1 (bx0 d)

x0 ，

aSn 1 baSn 1 b

aSn 1 b1

． Sn x0( c ax0)Sn 1 (bx0 d)

又由x0为方程（*）的根可得(ax0 c)x0 bx0 d 0．

2

ax0ax0 bx011 从而，． Sn x0bx0 dbx0 dSn 1 x0

注意到x0为方程ax2 (b c)x d 0的唯一解，便有x1 x2 x0 故(ax0 c) (ax0 b) ．

进而可得 x0(ax0 c) (ax0 b)x0．

另一方面，由(ax0 c)x0 bx0 d 0，可得bx0 d (ax0 b)x0． 于是，

ax011

． Sn x0bx0 dSn 1 x0

b c

， 2a

这表明数列{据此可得：

ax011

是以为首项，为公差的等差数列， Sn x0S1 x0bx0 d

ax011

(n 1)， Sn x0S1 x0bx0 d

2

S1(bx0 d) a(n 1)x0(S1 x0)

即Sn ．

(bx0 d) a(n 1)x0(S1 x0)

2 设x1 x2 x0=0，则，此时必有d 0，且b c 0，

则原方程变成aSnSn 1 bSn cSn 1 0，此时有Sn(aSn 1 b) cSn 1 bSn 1

Sn

bSn 111a1

，左右两边直接取倒数得： ，此时又可将原方程转化为一个以为

aSn 1 bSnSn 1bS1aabS1111首项为公差的等差数列{}， =+(n 1)， 即Sn

bbb aS1(n 1)SnSnS1

b 2，c 0，d 1）显然，①式中求Sn的问题为上述问题的特例（a 1，．注意到与之相应的方程（*）

x2 2x 1 0，则容易由上述求解过程之（2）得到Sn=

n

． n 1

利用上述结论，可以相对简洁地解决一些高考试题．

3 问题的总结与反思 综上所述，通过对该问题的反思、推广与解决，可以发现，①式中Sn的求法的一般性问题是可解的．虽然结果的表达式比较庞大复杂，但是方法很容易理解，因为将问题转化为求等差和等比数列的通项问题，本来就是解决数列问题的“通法”，学生容易接受．尤其值得指出的是，这种方法不仅有效地规避了因利用

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数学归纳法而带来不必要且又复杂的解题步骤，还有助于求解递推数列通项公式问题的思路发掘． 例 在数列{an}中，a1=1,当n>=2时，其前n项和Sn满足an+2SnSn 1=0,求Sn的表达式；

解： 由于Sn为数列{an}的前n项和

an Sn Sn 1，将其代入方程an+2SnSn 1=0得：2SnSn 1 Sn Sn 1 0

2

由此得到相应的特征方程：2x=0 x1 x2 x0 0 即此时问第（2）种情形中的2 ，

由上述结论即可直接得到：Sn=

1

. （a 2,b 1,c 1,d 0） 2n 1

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