第三章 金属塑性变形的力学基础
第四节 本构方程
第一讲 增量理论本构方程
弹性应力应变关系特点 塑性应力应变关系特点 增量理论本构方程
弹性应力应变关系广义虎克定律
在单向应力状态下，弹性变形时应力与应变之间的关系，由虎克定 律表达，即
E , 2G
一般应力状态，用广义虎克定律： x y z 1 E 1 E 1 E [ [ [ x
v ( v ( v (
y
z )]; x )]; y )];
xy
1 2G 1 2G 1 2G
xy yz zx
y
z
yz
z
x
zx
E——弹性模量； v——泊松比； G——切变模量(剪切模量);G E 2 (1 v )
弹性应力应变关系 x y z 1 E 1 E 1 E [ [ [ x
v ( v ( v ( 1 E
y
z )]; x )]; y )];
xy
1 2G 1 2G 1 2G
xy yz zx
y
z
yz
z
x
zx
z )]
G
E 2 (1 v )
x y z
[
x
y
z
2 v (
x
y
3 m
3 E
m
(1 2 v )
m
1 2v E
m
物体弹性变形时其单位体积变化率与平均应力成正比，说明应力 球张量使物体产生弹性的体积改变。
弹性应力应变关系 x y z 1 E 1 E 1 E [ [ [ x
v ( v ( v (
y
z )]; x )]; y )];
xy
1 2G 1 2G 1 2G
xy yz zx
y
z
yz
z
x
zx
G
E 2 (1 v )
x m 1 v 2 E 3 1 v
1 Ex
[ x v (
y
z)
1 3
( x
y
z)
2v 3
( x
y
z )]
1 v 3 3 E 1 ( x m ) x' 2 G (1 v ) 2Gy
z
1 x ( x 3
y
1 v z ) ( x m ) E
弹性应力应变关系 x ' y ' z ' 1 2G 1 2G 1 2G
x '; y '; z ';
xy
1 2G 1 2G 1 2G
xy yz
yz
zx
zx
ij ' m
1 2GE
ij '
1 2v
m
广义虎克定律的张量形式
ij ij ' ij m
1 2G
ij '
1 2v E
ij m
弹性应力应变关系 x ' y ' z ' 1 2G 1 2G 1 2G
x '; y '; z ';
xy
1 2G 1 2G 1 2G
xy yz
yz
zx
zx
ij '
1 2G
ij '
广义虎克定律的其它形式 x' x'
y' y'
z' z'
xy
xy z
yz yz
zx
zx
1 2G
x y x y
y z y
z x z x
xy
xy
yz yz
zx
zx
1 2G
弹性应力应变关系 x y x y
y z y
z
z x z x
xy
xy2
yz yz
zx
zx2
1 2G2 2 yz
(
1 2
(
x
y ) ( 2
y
z ) (
z
x ) 6 ( xy xy yz zx
zx )2
y ) 2 G ( x y ) ( y z ) 2 G ( y z ) ( z x ) 2 G ( z x ) x
xy 2 G yz 2 G zx 2 G 2
2
G
E 2 (1 v ) 2 yz
2G 21 E
( x y ) ( y z ) ( z x ) 6 ( 2
2 xy
2 zx
)
2 1 v
( x y ) ( y z ) ( z x ) 6 ( 2 2 2
2 xy
2 yz
2 zx
)
弹性应力应变关系
2G 21 E
( x y ) ( y z ) ( z x ) 6 ( 2 2 2
2 xy
2 yz
2 zx
)
2 1 v1 2 (1 v )
( x y ) ( y z ) ( z x ) 6 ( 2 2 2
2 xy
2 yz
2 zx
)
令
i
( x y ) ( y z ) ( z x ) 6 ( 2 2 2
2 xy
2 yz
2 zx
)
E i
i
——弹性应变强度
弹性应力应变关系 应力与应变完全成线性关系，即应力主轴与 全量应变主轴重合; 变形是可逆的，与应变历史无关，应力与应 变之间存在单值关系; 弹性变形时，应力球张量使物体产生体积的 变化，泊松比v<0.5;
塑性应力应变关系弹性变形——σ-ε对应，如σc永远对应εc
理想—— σs对应任何应变 塑性变形 硬化
σs→ σe (加载) → εe σf→ σe (卸载) → εf'
塑性应力应变关系
相同的应力状态(2、4、5), 对应不同的应变状态； 相同的应变状态(1、2及3、4) 对应不同的应力状态。
塑性应力应变关系1、应力与应变之间的关系是非线性的，全量应变 主轴与应力主轴不一定重合；2、变形是不可逆的，与应变历史有关，即应力应变关系不再保持单值关系； 3、塑性变形时可以认为体积不变，即应变球张量 为零，泊松比v=0.5; 4、对于应变硬化材科，卸载后再重新加载时的 屈服应力就是卸载时的屈服应力，比初始屈服 应力要高。
弹性应力应变关系应力与应变完全成线性关系，即 应力主轴与全量应变主轴重合
塑性应力应变关系应力与应变之间的关系是非线性的， 全量应变主轴与应力主轴不一定重合
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