第三章 空间向量与立体几何(3)

剖析：若对空间任意一点O，都有OP xOA yOB zOC

,其中，

x y z 1，则A,B,C,P共面，要特别

注意它们有公共起点O，而题目缺少这一条件，所以不能生搬硬套。

正解：设 AP mAG ,由 AG AB AD

3

AR 3AN,得2 3

AP 2mAM mAR 3mAN。

2

由于M,N,R,P共面，所以，

32

2m m 3m=1。从而得m ，所以，

AE=2AM

直；还可以证明直线的方向向量与平面的法向量平行。证明空间平面与平面平行可以证明一个平面内的两条相交直线的方向向量，和另一个平面内的两条相交直线的方向向量分别平行；也可证明两个平面的法向量相互平行。

证明面面垂直可以证明其法向量相213APPG 2

11

。 第2节 立体几何中的向量方法

空间向量解立体几何

（一）用向量讨论垂直与平行

1.若空间不重合的两条直线a，b的方向向

量分别为a ， b，则a//b a //

b；a b a

b 0。

2.若直线a的方向向量为a

，平面 法向量为 n且a ，则a// a

// a n a

n 0。

3.若空间不重合的两平面 ， 的法向量分

别为a ， b，则 // a // b； a b a

b 0。

4.平面 的法向量垂直于与平面 共面的所有向量；一个平面的法向量有无限多个它们互相平行。

5.证明空间直线与平面平行可证其方向向量与平面内的某一向量平行；也可证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量来表示，还可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直。

6.证明空间直线与平面垂直可证其方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量都垂

互垂直。 4.三垂线定理

平面的一条斜线和平面内的某条直线垂直，则其射影也和这条直线垂直；反之，平面的一条斜线的射影和平面内的某条直线垂直，则这条斜线也和这条直线垂直。

图3-2-1

（1）如图3-1-9三垂线定理的符号语言表述为：斜线AC C,AC在 内的射影为BC,l ，且l AC在，则l BC。 （2）把条件l 改为l// ，结论仍然成立，三垂线定理是证明空间两条直线垂直的依据，应用定理的关键是：要证线线垂直，可转化为，斜线的射影和已知直线垂直，反之也可。

（二）夹角的计算 1.直线间的夹角

（1）当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中不超过90

的角叫做l1与l2的夹角；当两条直线l1与l2异面时，在l1上任取一点A,作AB//l2,我们把l1和AB的夹角称为l1与l2所成的角，如图3-1-9。

图3-2-2

（2）两条异面直线夹角的取值范围是

0,2

。 （3）空间直线由一点和一个方向确定，所以空间两条直线的夹角 由它们的方向向量的夹角确定和计算。已知直线l1与l2的方

向向量分别为 s s

1与s2，当0 s1,2

时，直线l与l

2

12的夹角 s1,s2 ；当

2

s

1,s2 时，直线l1与l2的夹角

s s

1,2 。向量求法: cos

cos s

s 1 s21,s2 s s。

12

2.两平面间的夹角

两个平面所成二面角的平面角的大小就是两个平面的夹角 ，取值范围为 0, 。设

平面 s

1与 2的法向量分别为1与s2，当

0 s

1,s2 2

时，面 1与 2的夹角

s

1,s2 ；当2

s1,s2 时，直

面

1与 2的夹角 s1,s2 。向量求

法: cos cos s ,

ss 1s212 s。

1 s2

3.直线与平面的夹角

平面外一条直线与它在该平面内的射影的夹角为直线与平面的夹角，取值范围为

0,

2

。设直线与平面的夹角为 ，直线的方向向量为 s

1平面的法向量为s2，向量求

法: sin cos s ss

1 s2

1,2 s s。

12

（三）距离的计算 1.点到直线的距离

如图3-2-3设l为过点P，且平行于向量

s的

直线，A是直线l外一定点。作AA'

l，

则点到直线的距离d AA'

，而向量 PA

在

s上的投影为 P A

'

0 sP，A

d

s

0 为s的单位向

量。

图3-2-3

2.点到平面的距离

如图3-2-4，d AA'

PA n

0，n0为n的

单位向量。

图3-2-4

（一）向量法证明平行、垂直

例1．如图图3-2-5，已知正方体OABC

y z 0

, x y z,可取

x z 0

n (1,为1平面A1BC1的一个法向量。O1A1B1C1的棱长为1，E为O1C1上的点，

且C1

1E 2EO1,F是CC1上的点，且

CF 1

12

FC。

（1）求平面A1BC1的一个法向量； （2）证明EF//A1BC

1； （3）证明BO1 ABC11。

图3-2-5

分析：建立恰当的空间直角坐标系，用待定

系数法求出平面ABC

11的一个法向量n；然后证明 n EF 。

解：建立如图3-2-5的空间直角坐标系， 则

B(1,1,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1)。（1）设

n (x,y,z)为平面A1BC1的一个法向量，

则

n BA , n BA

1,n BC11 0,n BC1 0, BA 1 (0, 1

,1) ,BC1 ( 1,0,1),（2）要证EF//A1BC1，

只需证明 n EF 。 E(0,2,1),F(0,1,2), EF (0,1,1 n 333 3)

EF 13 1 0 EF

, n。

EF

3

//A1BC1，又EF不在A1BC1内，

EF//A1BC1。

（1） 要证B1O A1BC1，只需证明

BO

1//n， B1(1,1,1)， BO1

( 1, 1, 1)，又

n (1,1,1) (1

,1,1) BO， BO

11//n， BO

1 A1BC1。 点评：平面的法向量与某条直线平行，有两

种情况，要么直线在平面内，要么，直线与平面平行，两者必居其一，建立恰当的空间直角坐标系，将点线面用坐标表示出来，然后结合公式定理进行向量运算，就可求出结论；对于线面垂直问题只要证明直线的方向向量与其法向量平行即可。用向量法证明垂直平行的步骤：

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