【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习专项强化训练(二)三角函数(2)

(2)选择①③可确定△ABC. 因为A=30°,a=1,2c-(由余弦定理12=b2+整理得b2=2,b=

,c=

+1)b=0, -2b·. ×

×

bcos30°,

所以S△ABC=bcsinA=×=

.

【一题多解】(2)选择①④可确定△ABC. 因为A=30°,a=1,B=45°, 所以C=105°.

因为sin105°=sin(60°+45°) =sin60°cos45°+cos60°sin45°=由正弦定理

得b=

=

==, ,

×

=

. ,

所以S△ABC=absinC=×1×

12.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα),其中0<α<x<π.

(1)若α=,求函数f(x)=b·c的最小值及相应x的值. (2)若a与b的夹角为,且a⊥c,求tan2α的值. 【解析】(1)因为b=(cosx,sinx),

c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα), α=,所以f(x)=b·c

=cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα =2sinxcosx+令t=sinx+cosx

则2sinxcosx=t2-1,且-1<t<则y=t2+-1<t<

t-1=,

-,

(sinx+cosx).

, .

所以t=-时,ymin=-, 此时sinx+cosx=-, 即

sin

=-,

因为<x<π,所以<x+<π, 所以x+

=π,所以x=

.

所以函数f(x)的最小值为-, 相应x的值为

.

(2)因为a与b的夹角为, 所以cos=

=cos(x-α).

因为0<α<x<π,所以0<x-α<π,

=cosαcosx+sinαsinx

所以x-α=.

因为a⊥c,所以cosα(sinx+2sinα)+sinα(cosx+2cosα)=0, 所以sin(x+α)+2sin2α=0, 即sin

+2sin2α=0.

所以sin2α+cos2α=0, 所以tan2α=-.

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