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关于x的不等式 x 25 ax在 1, 3 上恒成立，2
求实数 a 的取值范围。思路1:只须不等式左边的最小值不小于右边最大值； 思路2 :把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含参数a,求函数的最值；
思路3:把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像。
不等式的应用 ——含参数恒成立问题制作人: 雷凯岚
当x 1 , 2 时ax 2 0恒成立，求 a 的取值范围 。
从 数 的 角 度
ax 2 0 ax 2 2 结论：(变量分离法)将不 a 2 又 x 0 等式中的两个变量分别置于 x f x x 在 x 1, 2 上是减函数
2 a x
=2
max
不等号的两边，则可将恒成 立问题转化成函数的最值问 题求解。
a 2
a f x ,则 a f x max 若 a f x ,则 a f x min若
当x 1 , 2 时ax 2 0恒成立，求 a 的取值范围 。当x 1, 2
,
f ( x) ax 2 0恒成立，
求 a 的取值范围 。
y
从 形 的 角 度
f 1 0 f 2 0
a 2 0
2a 2 0
a 2
o-2
1 2
x
a 1
a 2
当 x m, n 时， ax b 0 恒成立的条件
f ( m) 0 结论： 当 x m, n 时，f x ax b 0 恒成立的条件有 f ( n) 0
当 x m, n 时， ax b 0 恒成立的条件从形的角度： y 考虑 f x ax b 的图象 y y
o m n
x
o m n
x
o m n
x
f ( m) 0 当x m , n 时, f x ax b 0恒成立的条件有 f ( n) 0 f ( m) 0 同理得当x m , n 时, f x ax b 0恒成立有 f ( n) 0
p x 2 R 恒成立，求 px的范围。 xp p2 x恒成立，求 若若 ,,x x 2 xp 11 p x22
由
x
2
xp 1 p 2 x
x2 xp 1 p 2 x 0
即
2 x 1 p x 2 x 1 0
设 f p x 1 p x 2 2 x 1 0 ,对p 2, 2 上恒成立，
f ( 2) 0 故有： f (2) 0
2 x 3 0 即 2 x 4x 1 0
x R x 5 -2或 x 5 2
x 5 -2或 x 5 2
2 x 题三：若 x R, xp 1 p 2 x 恒成立，求 p 的范围。
原不等式等价于 x2 p 2 x 1 p 0对 x R 恒成立 设 f x x 2 p 2 x 1 p 0 对 x R恒成立， 即
p 2 4 1 p 02
解得
8 p 0ax bx c 0(a 0)2
从形的角度： 结论：(二次函数型) 对 x R有ax 2 bx
c 0(a 0)或 恒成立的条件是什么？
结论：(二次函数型)
对
x R有ax 2 bx c 0(a 0) 2 或 ax bx c 0(a 0) 恒成立的条件2
从形的角度：2 或 f x ax bx c 0(a 0) f x ax bx c 0(a 0) y y x o x o
a 0 0
或
a 0 0
不等式 x xp 1 p 2 x对 x 1, 恒成立，求2
p 的范围。
原不等式可转化为2
f x x2 p 2 x 1 p 0对 x 1, 恒成立
ⅰ)当 p 2 4 1 p 0时，即 8
f x 0恒成立； 2 ⅱ)当 p 2 4 1 p 0 时由图可得以下充要条件：f 1 0 p 2 1 2
p 0 时，对一切
0
得 p 0
y o x
y o
1
x
综合可得 p 的取值范围为 8, . 结论：二次函数型在指定区间上的恒成立问题，可以利用 根的分布求解。
不等式 x xp 1 p 2 x对 x 1, 恒成立，求22 原不等式可等价于 x 1 p x 2 x 1
p 的范围。
x 12
x 1 0x 1
2 2x 1 x x 则 p p x 1 x 1 2 2 2x 1 x 1 4 x 1 4 x x 1 x 1 4 x 1 4 x 1
2x 1
4 4 x 1 4 x 1
max
4 2 ( x 1) 8
8
p 8
当 x 1, 2 时，不等式 x 1 log a x 恒成立，求 a 的范围。2
设 y
y1 x 1 , y2 log a x2
y1=(x-1)2
y
y1=(x-1)2 y2=logax
1 o
1
2
0 a 1
x y2=logax
1 o
1
2
x
要使对一切 x 1, 2 ,y1
y2 恒成立， 显然 a 1 , 1 a 2
a 1
并且必须也只需当 x 2 时，y2 的函数值大于 y1 的函数值。
log a 2 1且a 1
结论：若能画出不等号两边函数的图象，则可以通过 图象法解题。
从数的角度： 变量分离法
求函数最值
从形的角度： 图象法(函数性质及图象)
设函数 步骤：
画图
列式
转化、数形结合、分类讨论等
1 关于x的不等式 x 25 ax在 1, 3 上恒成立，2
求实数 a 的取值范围。1 2 a 4 2 不等式 0在 , 1 上恒成立， 求实数a 取值范围。 3x x
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