象棋中的数学：马为什么不能只用5步就回到原位？ - 图文

象棋中的数学：

马为什么不能通过5步就回到原位？

作者：哈哈

各位同学，大家都知道有这么一个规律：下象棋下得比较好的同学，数学成绩也比较棒；数学成绩好的同学，下棋也比较棒。为什么呢？因为数学和象棋有一个共同点：它们逻辑性强，都能锻炼人的思维！今天我们就来漫谈象棋中的趣味数学！

对于象棋的基本知识，马的走法是先往横走两步，再往竖走一步，或者先往竖走两步，再往横走一步，俗称“马走日字”，卧槽马是象棋中三大将之一——马的一个基本招术，它能够配合其他棋子，组成多种多样的绝招！那么，现在的数学问题是：马从下棋前所摆的位置，想要奔到卧槽位置，最少需要多少步？【（名词解释）卧槽马：以红方为例，卧槽马指的是红方的（三·九）位置和（七·九）位置的马】。各位同学不妨在草稿纸上画画，看看需要多少步？

通过实践，我们发现，上面问题的答案是：

5

步！马从原来的位置，经过5步跳到卧

槽位的这个结论，叫做“5步卧槽法”。有图为例：

只是，你知道为什么是5步吗？好，这个结论的证明，我们先留着，接下来我们来看看另一个数学问题，然后笔者通过数学知识，给出它的结论和证明过程。至于第一个问题的结论及其证明过程，有兴趣的同学可以通过笔者的证明方法来加以论述！

Ok，那接下来的数学问题是：马能不能从一个位置跳出去，经过5步就能回到原位呢？ 大家不妨试试，画一画。

小学生经过实践，说：切！这还不简单咩？！无论我怎么画，马都无法通过5步就回到原位。

中学生虽然已经知道了这个结论，但是此时此刻也许正在琢磨着：为什么马无法通过5步就回到原位呢？我该通过什么办法来证明这个结论呢？

好！恭喜各位同学，你们的结论是正确的，也就是：马无法通过5步就回到原位。现在带着问题，跟着笔者一起来探索一下它的证明过程。

为了叙述方便，我们不妨将问题的内容、结论和证明重述一下：

象棋中的数学问题2：马能不能从一个位置跳出去，经过5步就能回到原位呢？ 结论：不能！

论证：

（第1步）：首先，让我们来看一下，棋盘上任何一个位置的马，一步跳到另一个位置，最多有多少种？

如下图所示，棋盘上表示出了任何一个位置的马，由箭头指向，最多可以跳多少个位置的示意图：

显然，马跳一步，最多有8个去处。（此即马的第二个招术：马有“八面来风”！） （第2步）：接下来，让我们一起来分析一下，马跳一步后，位置发生了什么变化？ 这个时候，不妨借助中学数学知识的平面直角坐标系来研究！ （2.1平面直角坐标系的建立过程）：通过观察发现，中国象棋棋盘上是由横9个点，竖10个点组成的90个交叉点，而且每一个点在横向或竖向上都是等距的！这时，如果建立如下图所示的平面直角坐标系：

那么，棋盘上任何一个位置的马的坐标（x，y），取值范围是：x=0，1，2，3，4，5，6，7，8 ；y=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。

（2.2定义坐标点的奇偶性）：根据棋盘上的坐标取值，我们还可以定义坐标上的奇数位和偶数位，即：

引理①奇数位：坐标系中横坐标与竖坐标的坐标和为奇数的位置； 引理②偶数位：坐标系中横坐标与竖坐标的坐标和为偶数的位置。

比如：如果马的坐标为（0，0），那么它在偶数位；如果马的坐标为（8，9），那么它在奇数位。

（第3步）：证明马跳五步后位置的奇偶变化。

①定理1：任何位置的马，跳了一步之后，奇偶位互换。

证明：设原来马的坐标为（x0，y0） ，马跳一步后的坐标为（x0+x1，y0+y1），显然，x1和y1的取值为：-2，-1，+1，或+2，并且根据“马走日”的走法，x1+y1的组合可以是：

?x1?-2?x1?-2?x1?-1?x1?-1?x1??1?x1??1?x1??2?x1??2，，，，，，或?，????????y1?-1?y1??1?y1?-2?y1??2?y1?-2?y1??2?y1?-1?y1??1

显然，x1+y1的和为-1，或+1！这意味着，马走一步后，奇偶位将发生改变。换句

话说：任何位置的马，跳了一步之后，奇偶位互换。（定理得证）

②根据定理1，任何位置的马，跳了一步之后，奇偶位互换，那么：马跳了五步之后，奇偶位必将发生改变！

而假设马跳了五步之后还是能回到原位，那意味着它的奇偶位没有发生变化。这与定理1矛盾。所以假设不成立，即：棋盘上任何一个位置的马不能从一个位置跳出去，经过5步回到原位！

同学们，通过以上象棋中的第二个问题的内容、结论和证明过程，你知道为什么马从下棋前所摆的固定位置，至少需要5步就可以到达卧槽位了吗？

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