一元多项式因式分解方法

2013级理科实验班高等代数与解析几何课程论文

一元多项式的因式分解方法

彭锐

（北京科技大学2013级理科实验班1班）

摘要：本文总结了一些一元多项式的因式分解方法，并跟随例题进行简单讲解，并对每种方法进行简单评价，包括综合除法、待定系数法、辗转相除法、矩阵的初等行变换法以及行列式法。

关键词：多项式；因式分解

因式分解在高等代数的学习中起到极大的作用，而有些较高次数的多项式不易分解。本文总结了一些一元多项式因式分解方法，以一题多解的方法进行讲解。

本文结构如下：第1节是主要讲解各种因式分解方法[1]；第2节是每种方法的简单评价。

1一元多项式f?x??x5?10x3?20x2?15x?4的因式分解方法

1.1 综合除法

f?x?的最高次项系数1的因子有?1，常数项?4的因子有?1，?2，?4，故f?x?的根有可能是?1，?2，?4代入f?x?逐一检验，得出?1和4是f?x?的有理根，下面做综合除法：

?110?1?10?20?151?912911?440

41?14?11?4|124

1 3 3 1| 0

32易见x?3x?3x?1??x?1?，

3所以f?x???x?1?

4?x?1?。

1.2待定系数法

由解法1的分析可知，?1和4是f?x?的有理根，不妨设

f?x???x?1??x?4??x3?ax2?bx?1? 。 利用多项式乘法法则将右式展开并合并同类

1

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项，得

f??x?5x??3??a4?x?4?b?3??3a1x?3???42b??a与43x???4b?f?x??x5?10x3?20x2?15x?4进行逐项比较，得a?b?3。所以

f?x???x?1??x?4??x3?3x2?3x?1???x?1??x?4?

4

1.3辗转相除法

f??x??5x4?30x2?40x?15?5?x?6x?8x?3?42

下面做辗转相除法：

易见?f?x?,f??x???x3?3x2?3x?1??x?1?，

3又因为

f?x??x2?3x?4??x?4??x?1?，

?f?x?,f??x??4所以f?x???x?1??x?4?。

1.4矩阵的初等行变换法[2]

1?32x?3x?3x?1??x5?10x3?20x2?15x?410??4?? 由??x4?6x2?8?301??x?3?0?4?x??20? 2?x?3x?4??20?易见?f?x?,f??x???x3?3x2?3x?1??x?1?，

3又因为

f?x??x2?3x?4??x?4??x?1?，

?f?x?,f??x??2

2013级理科实验班高等代数与解析几何课程论文

所以f?x???x?1??x?4?。

1.5行列式法[3]

x0f?x??0?1x00?1x00?1000

4000x?1?4?15?20?10x利用行列式的性质，通过降阶和提取公因式的方法进行因式分解。 解得f?x???x?1??x?4?。

42简单评价

综合除法书写简洁，思路清晰，不容易出错，但它必须建立在多项式有有理根的基础上，且若多项式需要检验的因子很多，而每个因子都要做一次相应的综合除法，这就给计算增加了一些麻烦。待定系数法比较基本也比较直接，但会涉及求解方程组，计算量往往也不小。只有预先观察多项式的最高次项系数与常数项系数，同时找出多项式所有的有理根，才能有效降低待定系数法的难度。辗转相除法与矩阵的初等行变换法是线性代数中的两个基本方法，用途非常广泛，但它们都是建立在多项式有重因式的基础上。如果多项式没有重因式，这两种方法就无法使用。行列式法的观念比较新颖，但技巧性较强，操作有一定难度，不便通用。

参考文献

[1]杨琴,关于一元多项式的因式分解,青海民族大学学报(教育科学版),2010(5).

[2]周立任,n个一元多项式的最大公因式的矩阵求法,湖南理工学院学报(自然科学版),2004(4).

[3]杨荣友,蒋炜,高等代数理论在多项式分解中的应用,唐山师范学院学报,2006(9).

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