第8章 第7节
1．已知A(－1,0,1)、B(x，y,4)、C(1,4,7)，且A、B、C三点在同一条直线上，则实数x、y分别等于( )
A．x＝0，y＝1 C．x＝1，y＝1 [答案] B
x＋1y3→→→→
[解析] 由条件和AB∥AC，∵AB＝(x＋1，y,3)，AC＝(2,4,6)，∴＝＝，∴x＝0，
246y＝2.
2．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝( ) A．5 [答案] C
[解析] ka－b＝(－k－1，－2，k－3)， ∵ka－b与b垂直，
∴1×(－k－1)＋2×(－2)＋3(k－3)＝0，∴k＝7.
3．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为( ) A．60° [答案] B
→→→
[解析] 如图，AB1＝AB＋BB1 →→→→
BC1＝BC＋CC1，设|BB1|＝1，
→→→→→→→→→→∴AB1·BC1＝AB·BC＋AB·CC1＋BB1·BC＋BB1·CC1＝2·2·cos120°＋1＝0.∴AB1⊥BC1. →→→4．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设A1B1＝a，A1D1＝b，AA1＝→
c，则下列向量与B1M相等的是( )
11
A．－a＋b－c
2211
C.a－b＋c 22[答案] A
→→→→1→→
[解析] B1M＝B1B＋BM＝－AA1＋(BA＋BC)
2→1→→＝－AA1＋(－A1B1＋A1D1)
2
11
B.a＋b＋c 2211
D．－a－b＋c
22
B．90° C．105°
D．75°
B．6
C．7
D．8
B．x＝0，y＝2 D．x＝1，y＝2
11
＝－a＋b－c.
22
5．a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则a＋b与a－b的夹角为( ) A．0° C．60° [答案] D
[解析] (a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b)．
6．直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量n＝(－2，0，－4)，则( ) A．l∥α C．l?α [答案] B
[解析] ∵n＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.
→→
7．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则AC与AB的夹角为( ) A．30° B．45° C．60° D．90° [答案] C
→→
AB·AC3→→→→
[解析] AB＝(0,3,3)，AC＝(－1,1,0)．设〈AB，AC〉＝θ，则cosθ＝＝＝
→→32·2|AB|·|AC|1
，∴θ＝60°. 2
1→
8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M分AC1的比为，点N为B1B的中点，
2则|MN|＝( )
A.C.21 615 6
B.D.6 615 3
B．l⊥α D．l与α斜交
B．30° D．90°
[答案] A
→→→
[解析] MN＝AN－AM
1→1→1→?→→
＝AB＋BN－??3AB＋3AD＋3AA1? 2→1→1→＝AB＋AA1－AD. 363→∴|MN|＝二、填空题
4→21→21→221|AB|＋AA1＋AD＝. 93696
9．(2010·广东理)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝______.
[答案] 2
[解析] c－a＝(1,1,1)－(1,1，x)＝(0,0,1－x)． ∴(c－a)·(2b)＝(0,0,1－x)·(2,4,2)＝2－2x＝－2. ∴x＝2.
10．向量(a＋3b)⊥(7a－5b)，(a－4b)⊥(7a－2b)，则a和b的夹角是________． π[答案]
3
??7a－5b?＝0??a＋3b?·
[解析] 由已知得?，
??a－4b?·?7a－2b?＝0?
2
?b－15b2＝0?7a＋16a·即?2， ?7a－30a·b＋8b2＝0?2?b?b＝2a·∴?2， ?a＝2a·b?
|a|2|b|2即a·b＝＝. 22a·b1
∴cos＝＝，
|a||b|2π
∴＝.
3
11．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以AB与AC为边的平行四边形的面积为____________．
[答案] 73
→→
[解析] 由题意可得：AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3,2)， →→AB·AC－2＋3＋671→→
∴cos〈AB，AC〉＝＝＝＝. 142→→14×14|AB||AC|3→→
∴sin〈AB，AC〉＝，
2
→→
∴以AB，AC为边的平行四边形面积为： →→→→S＝|AB|·|AC|·sin〈AB，AC〉 ＝14×
三、解答题
3
＝73. 2
12．已知a＝(2，－1,3)，b＝(1,0，－2)． (1)计算a－2b；
(2)是否存在实数λ，使a＋λb与z轴垂直，若存在求之，若不存在，说明你的理由． [解析] (1)a－2b＝(2，－1,3)－2(1,0，－2) ＝(0，－1,7)．
(2)a＋λb＝(2，－1,3)＋λ(1,0，－2)＝(λ＋2，－1,3－2λ)，z轴的一个方向向量为e＝(0,0,1)，3由(λ＋2，－1，3－2λ)·(0,0,1)＝3－2λ＝0得，λ＝. 2
3
∴存在实数λ＝，使向量a＋λb与z轴垂直．
2
13．如图，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长；
→→
(2)求BD1与AC夹角的余弦值． →→→
[解析] 记AB＝a，AD＝b，AA1＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1，
＝
(1)|AC1|2＝(a＋b＋c)2
111?＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×??2＋2＋2?＝6， →
∴|AC1|＝6.
→→
(2)BD1＝b＋c－a，AC＝a＋b， →→
∴|BD1|＝2，|AC|＝3， →→BD1·AC＝(b＋c－a)·(a＋b) ＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
→→
BD1·AC6→→
∴cos
6→
|BD1||AC|
∴AC→与BD→
61夹角的余弦值为6
.
14．如图所示，在四棱锥M－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AM的长为b，且AM和AB，AD的夹角都等于60°，N是CM的中点．
(1)以AB→，AD→，AM→为基向量表示出向量CM→
，并求CM的长； (2)求BN的长．
[解析] (1)CM→＝AM→－AC→
＝AM→－(AB→＋AD→)＝AM→－AB→－AD→， |CM→|2＝(AM→－AB→－AD→)2
＝AM→2＋AB→2＋AD→2－2AM→·AB→－2AM→·AD→＋2AB→·AD→ ＝b2＋a2＋a2－2bacos60°－2bacos60°＋2a2cos90° ＝2a2－2ab＋b2.
∴CM＝|CM→
|＝2a2－2ab＋b2.
(2)BN→＝BC→＋CN→＝BC→＋12(AM→－AB→－AD→)
＝12
(AM→－AB→＋AD→)， ∴|BN→|2＝1(AM→2＋AB→2＋AD→2－2AM→·AB→＋2AM→·AD→－2AB→·AD→)＝1(2a2
＋b244)
∴BN＝|BN→|＝1
2a2＋b22
.
15．如图，已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC，求证PM⊥QN.
[证明] OM→＝12(OB→＋OC→
)，
ON→＝12(OA→＋OC→)
∴PM→＝PO→＋OM→＝1→→→2(AO＋OB＋OC)
＝12(OB→－OA→＋OC→)＝1→→2(AB＋OC) QN→＝QO→＋ON→＝1→2(BO＋OA→＋OC→)
＝1→→→2
(OA－OB＋OC) 1→→1→→＝(BA＋OC)＝(OC－AB) 22→→1→→1→→∴PM·QN＝(AB＋OC)·(OC－AB)
221→→
＝(OC2－AB2) 41→→＝(|OC|2－|AB|2) 4→→
由AB＝OC得|AB|＝|OC|.
→→→→∴PM·QN＝0，即PM⊥QN，∴PM⊥QN.
[点评] 向量a垂直于向量b的充要条件是a·b＝0，据此可以证明直线与直线垂直，在证明一对向量垂直时，往往用一组基底先表示这一对向量，再考虑它们的数量积是否为0.
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