复变函数1到5章测试题及答案

第一章 复数与复变函数(答案)

一、

选择题

1．当z?1?i1007550时，z?z?z的值等于（B） 1?i（A）i （B）?i （C）1 （D）?1 2．设复数z满足arg(z?2)??3，arg(z?2)?5?，那么z?（A） 6（A）?1?3i （B）?3．复数z?tan??i(3?i （C）?1331?i （D）??i 2222?????)的三角表示式是（D） 2?[cos(??)?isin(??)] （B）sec?[cos(（A）sec22??3?3???)?isin(??)] 22?[cos(（C）?sec3?3?????)?isin(??)]（D）?sec?[cos(??)?isin(??)] 2222224．若z为非零复数，则z?z与2zz的关系是（C）

2222（A）z?z?2zz （B）z?z?2zz

22（C）z?z?2zz （D）不能比较大小

５．设x,y为实数，z1?x?11?yi,z2?x?11?yi且有z1?z2?12，则动点(x,y)的轨迹是（B）

（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转

?，对应的复数为1?3i，则原向量对应的复数是（A） 3（A）2 （B）1?3i （C）3?i （D）3?i ７．使得z?z成立的复数z是（D）

（A）不存在的 （B）唯一的 （C）纯虚数 （D）实数

- 1 -

22８．设z为复数，则方程z?z?2?i的解是（B）

（A）?3333?i （B）?i （C）?i （D）??i 4444９．满足不等式

z?i?2的所有点z构成的集合是（D） z?i（A）有界区域 （B）无界区域 （C）有界闭区域 （D）无界闭区域 10．方程z?2?3i?2所代表的曲线是（C）

（A）中心为2?3i，半径为2的圆周 （B）中心为?2?3i，半径为２的圆周 （C）中心为?2?3i，半径为2的圆周 （D）中心为2?3i，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（B） （A）

z?1?2 （B）z?3?z?3?4 z?2z?a?1(a?1) （D）zz?az?az?aa?c?0(c?0)

1?az（C）

12．设f(z)?1?z,z1?2?3i,z2?5?i,，则f(z1?z2)?（C） （A）?4?4i （B）4?4i （C）4?4i （D）?4?4i 13．limIm(z)?Im(z0)（D）

z?z0z?z0（A）等于i （B）等于?i （C）等于0 （D）不存在 14．函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0处连续的充要条件是（C） （A）u(x,y)在(x0,y0)处连续 （B）v(x,y)在(x0,y0)处连续

（C）u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续（D）u(x,y)?v(x,y)在(x0,y0)处连续

z2?z?115．设z?C且z?1，则函数f(z)?的最小值为（A）

z

- 2 -

（A）?3 （B）?2 （C）?1 （D）1

二、填空题

1．设z?(1?i)(2?i)(3?i)，则z? (3?i)(2?i)2 n 2．设z?(2?3i)(?2?i)，则argz? ??arcta83．设z?5,arg(z?i)?3?，则z? ?1?2i 4(cos5??isin5?)216?4．复数的指数表示式为 ei 2(cos3??isin3?)5．以方程z?7?15i的根的对应点为顶点的多边形的面积为 63 ６．不等式z?2?z?2?5所表示的区域是曲线 z?2?z?2?5（或

6x2y2??1） 的内部 5232()()22７．方程

2z?1?i?1所表示曲线的直角坐标方程为 x2?y2?1

2?(1?i)z８．方程z?1?2i?z?2?i所表示的曲线是连接点 ?1?2i 和 2?i 的线段的垂直平分线

９．对于映射??

i2222，圆周x?(y?1)?1的像曲线为?u?1??v?1 z

2410．lim(1?z?2z)? ?1?2i

z?1?i三、若复数z满足zz?(1?2i)z?(1?2i)z?3?0，试求z?2的取值范围． ([5?2,5?2]（或5?2?z?2?5?2）)

- 3 -

四、设a?0，在复数集C中解方程z2?2z?a. (当0?a?1时解为?(1?1?a)i或?(1?a?1) 当1?a???时解为?(1?a?1)) 五、设复数z??i，试证

z是实数的充要条件为z?1或Im(z)?0.

1?z2六、对于映射??11(z?)，求出圆周z?4的像. 2z17?u?cos??u2v22??1) (像的参数方程为?0???2?．表示w平面上的椭圆151715?v?sin?()2()22?22七、设z?x?iy，试讨论下列函数的连续性：

?2xy,z?0?1.f(z)??x2?y2

?0,z?0??x3y?,z?02.f(z)??x2?y2.

?0,z?0?(1．f(z)在复平面除去原点外连续，在原点处不连续； 2．f(z)在复平面处处连续)

第二章 解析函数（答案）

一、选择题：

1．函数f(z)?3z在点z?0处是( B )

（A）解析的 （B）可导的

（C）不可导的 （D）既不解析也不可导

- 4 -

22．函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( B )

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( D )

（A）设x,y为实数，则cos(x?iy)?1

（B）若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不可导

（C）若u,v在区域D内满足柯西-黎曼方程，则f(z)?u?iv在D内解析 （D）若f(z)在区域D内解析，则if(z)在D内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( C )

（A）x2?y2?2xyi （B）x2?xyi （C）2(x?1)y?i(y?x?2x) （D）x?iy

25．函数f(z)?zIm(z)在z?0处的导数( A )

2233（A）等于0 （B）等于1 （C）等于?1 （D）不存在

6．若函数f(z)?x?2xy?y?i(y?axy?x)在复平面内处处解析，那么实常 数a?( C )

（A）0 （B）1 （C）2 （D）?2

7．如果f?(z)在单位圆z?1内处处为零，且f(0)??1，那么在z?1内f(z)?( C )

（A）0 （B）1 （C）?1 （D）任意常数 8．设函数f(z)在区域D内有定义，则下列命题中，正确的是( C )

（A）若f(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数 （B）若Re(f(z))在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数 （C）若f(z)与f(z)在D内解析，则f(z)在D内是一常数 （D）若argf(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数

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