函数与导数综合问题选讲

函数与导数综合问题选讲（1）

一、基础练习

1．向气球内充气，若气球的体积以36?(cm3/s)的速度增加，气球半径R(t)（cm）增加的速率R/(t)= .

π?2.已知函数f(x)＝f?()cosx＋sinx，则f()的值为________．

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3.函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，ak)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.

若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________． 4. 已知函数f(x)?ax?1 ?lnx在(0,??)上是增函数，求a的取值范围 ．2x5.函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．

??,]的最大值是 ，最小值是 . 2227.若函数f(x)?2x?lnx在其定义域内的一个子区间(k?1,k?1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是 .

8. 设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x?0时，

1f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,且g(?)?0则不等式f(x)g(x)?0的解集是 ．

26. 函数y=sin2x?x?x?[?二、例题讲解：

例1.已知函数f(x)＝(x－k)ex.

(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．

例2.若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．

(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g?(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．

例3.已知函数f(x)?ln(ax?1)?1?x(x?0)，其中a?0． 1?x⑴若f(x)在x?1处取得极值，求a的值；⑵求f(x)的单调区间；

⑶若f(x)的最小值为1，求a的取值范围．

例4. 已知函数f(x)?axlnx图像上点(e,f(e))处的切线与直线y?2x平行，（2）对一切x??0,e?,??3f(x)?g(x)恒成g(x)?x2?tx?2.（1）求函数f(x)的解析式；立，求实数t的取值范围

例5. 已知函数级f(x)?ax?b?c(a?0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程y?x?1. x(1)用a表示出b,c；(2)若f(x)?lnx在[1,??)上恒成立,求a的取值范围．

函数与导数综合问题选讲（2）

1. 已知f(x)?sinx?2x,x?R,且f(1?a)?f(2a)?0，则a的取值范围是

112.函数f(x)?ax3?ax2?2ax?2a?1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是____.

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3. 已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)存在单调递减区间，则实数a的取值范围是____．

24.若函数y?eax?3x?x?R?有大于零的极值点，则a的取值范围为___________． 5. 将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

2(梯形的周长）,则S的最小值是 ． S?梯形的面积6. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)?e(x?0)的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________．

37. 若函数f(x)?ax?4x对于x?[?1,1]总有f(x)?1成立，则实数a?________． 3变式1.若f(x)?ax?3x?1对于x?[?1,1]总有f(x)?0成立，则a? . x变式2. 对任意x?(0,??)不等式(2ax?1)lnx?0恒成立,则a的值为__ ___. 8. 已知可导函数f(x)(x?R)的导函数f?(x)满足f?(x)?f(x)，则当a?0时，f(a)和

eaf(0)（e是自然对数的底数）大小关系为 ．

例1.某园林公司计划在一块O为圆心,R(R为常数，单位为米)为半径的半圆形（如图）地

上种植花草树木，其中弓形CMDC区域用于观赏样板地，?OCD区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利．．．润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元. ．．．（1）设?COD??(单位：弧度）, ,用?表示弓形CMDC的面积S弓?f(?); （2）园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大? 并求相对应的?.

MC草皮地 观赏样板地 D花木地 草皮地 AOB例2.设函数f(x)＝a2lnx－x2＋ax，a>0.

(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．

1?a（1）设0?a?1，试讨论f(x)的单调性； ?1(a?0)．

x1（2）设g(x)?x2?2bx?4，且a?． ①若对任意x1?(0,2)，存在x2?[1,2]，使得

4f(x1)?g(x2)，求实数b的取值范围；②若对任意x1，x2?(1,2]，都有例3.已知函数f(x)?lnx?ax?f(x1)?f(x2)??11，求?的取值范围． ?x1x2

例4.设函数f(x)?x?a(x?1)ln(x?1),(x??1,a?0).

（1）求f(x)的单调区间；（2）证明：当m>n>0时，(1?m)n?(1?n)m.

函数与导数综合问题选讲（3）

例1. 已知函数f (x)=(m-3)x3 + 9x.

(1)若函数f (x)在区间(-∞,+∞)上是单调函数,求m的取值范围; (2)若函数f (x)在区间[1,2]上的最大值为4,求m的值.

例2. 已知函数f(x)?ax?x2?xlna(a?0,a?1). （1）求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（2）求函数f(x)单调区间； （3）若存在x1,x2?[?1,1]，使得f(x1)?f(x2)?e?1，求实数a的取值范围.

?x2?2x?a,x?0例3. 已知函数f(x)??，其中a是实数.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函

?lnx,x?0数图象上的两点,且x1?x2.

(1)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直，且x2?0,求x2?x1的最小值； (2)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合，求a的取值范围.

例4.已知函数f(x)?12x?ax?(a?1)lnx，a?1． 2（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）证明：若a?5，则对任意x1,x2?(0,??)，x1?x2，有

f(x1)?f(x2)??1．

x1?x2

例5．若函数f(x)在(0,??)上恒有xf?(x)?f(x)成立（其中f?(x)为f(x)的导函数），则称这类函数为A类函数．

1?a（1）若函数h(x)?ax?3?lnx?是A类函数，求函数h(x)的单调区间;

x（2）若函数f(x)是A类函数，当x1?0,x2?0时，证明f(x1?x2)?f(x1)?f(x2).

例6. 已知a，b是实数，函数f(x)?x3?ax,g(x)?x2?bx, f?(x)和g?(x)是f(x),g(x)的导函数，若f?(x)g?(x)?0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致．

（1）设a?0，若函数f(x)和g(x)在区间[?1,??)上单调性一致,求实数b的取值范围； （2）设a?0,且a?b，若函数f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求a?b的最大值．

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