数学实验特征值与特征向量

实验六 特征值与特征向量

一．实验目的

1.掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论； 2.掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；

3.理解由差分方程xk+1 = Axk 所描述的动力系统的长期行为或演化；

4.提高对离散动力系统的理解与分析能力

二．问题描述

1.当捕食者-被捕食者问题中的捕食参数p是0.125时，是确定该动态系统的演化（给出Xk的计算公式）。猫头鹰和森林树的数量随着时间如何变化?该系统去向一种被称为不稳定平衡的状态。如果该系统的某个方面（例如出生率或者捕食率）有轻微变动，系统会如何变化？

2.在美国的黄杉森林中，班头猫头鹰主要以鼹鼠为食。假设这两个种群的捕食率-被捕食率矩阵为A=[0.4 0.3;-p 1.2]’

（1） 证明：如果捕食参数p=0.325，则两个种群都会增长。估计长期的增长率及猫头鹰与鼹鼠的最终比值。

（2） 证明：如果捕食率p=0.5，则猫头鹰和鼹鼠都将灭绝。 （3）试求一个P值，使得猫头鹰和鼹鼠的数量趋于稳定。此时，对应的种群数量是多少？

三．问题分析

最简单的捕食者-被捕食者模型可描述为：

uk+1 =auk+bvk vk+1=-cuk+dvk

其中，uk 和vk分别指捕食者和被捕食者在 k时刻（如第 k 个月）

的数量。a、b、c、d为正数。

记xk+1=axk,其中A=[a b;-p c].据此可求出A的特征值和对应的特征向量。再根据不同特征值的个数、绝对值大于1还是小于1、是史特恒指还是负数特征值等情形，分析出系统的演化过程。

四．实验过程

问题一：

第一步：求A的特征值和对应的特征向量。利用如下的代码即可获得：

A = [0.5 0.4-0.125 1.1]; [pc,lambda] = eig(A);

%求A 的特征值和对应的特征向量 [Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend');

%对特征值的绝对值降序排列 temp = diag(lambda);

lambda = temp(I) %输出按特征值的绝对值降序排列的特征值 pc = pc(:,I) %与特征值对应的特征向量

运行程序可得A的特征值为 lambda =

1.0000 0.6000

A 的特征向量 pc =

-0.6247 -0.9701

-0.7809 -0.2425

将小数乘以相应倍数变成整数

V1=[4 5], V2=[4 1] P=[4 4;5 1]; P﹣1AP=[1.00 0;0 0.60]; 因为当k趋近于无穷大时，0.6^k 趋近于0.所以取1.可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当。系统趋向于不稳定平衡的状态。当出生率下降或者捕食率增大，或者相反的情况，该平衡状态就会被打破。直到重新平衡或者系统完全崩溃。

问题二：

A=[0.4 0.3;-P 1.2];

(1)当P=0.325时，类似问题一的结决方案，可求出A 的特征向量与特征值如下：

A = [0.4 0.3;-0.325 1.2]; [pc,lambda] = eig(A);

%求A 的特征值和对应的特征向量 [Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend');

%对特征值的绝对值降序排列 temp = diag(lambda);

lambda = temp(I) %输出按特征值的绝对值降序排列的特征值 pc = pc(:,I) %与特征值对应的特征向量

运行程序可得A的特征值为 lambda =

1.0500 0.5500

A 的特征向量 pc =

-0.4191 -0.8944 -0.9080 -0.4472

将小数乘以相应倍数变成整数

V1=[5 11], V2=[2 1] P=[5 2;11 1]; P﹣1AP=[1.05 0;0 0.55];

由此可知，当k趋近于无穷大时，0.55^k 趋近于0.所以A的特征值取1.05.即猫头鹰和老鼠的数量几乎每个月都近似增加到原来的1.05 倍，即有5%的增长率.所以xk约为（5 11），即每5只猫头鹰对应着6500只老鼠。最终比值为1300.

（2）当P=0.5时，类似问题一的结决方案，可求出A 的特征向量与

特征值如下：

A = [0.4 0.3;-0.5 1.2]; [pc,lambda] = eig(A);

%求A 的特征值和对应的特征向量 [Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend');

%对特征值的绝对值降序排列 temp = diag(lambda);

lambda = temp(I) %输出按特征值的绝对值降序排列的特征值 pc = pc(:,I) %与特征值对应的特征向量

运行程序可得A的特征值为 lambda =

0.9000 0.7000

A 的特征向量 pc =

-0.5145 -0.7071 -0.8575 -0.7071

将小数乘以相应倍数变成整数

V1=[5 3], V2=[1 1] P=[5 3;1 1]; P﹣1AP=[0.9 0;0 0.7];

因为所有的特征值得绝对值都小于1，所以当k趋近于无穷大时，xk趋近于零。所以这个模型预示着斑点猫头鹰最终将会灭绝。 （3） 采用试值法取p=0.4. 可求出A 的特征向量与特征值如下：

A = [0.4 0.3;-0.4 1.2];

[pc,lambda] = eig(A);

%求A 的特征值和对应的特征向量 [Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend');

%对特征值的绝对值降序排列 temp = diag(lambda);

lambda = temp(I) %输出按特征值的绝对值降序排列的特征值 pc = pc(:,I) %与特征值对应的特征向量

运行程序可得A的特征值为 lambda =

1.0000 0.6000

A 的特征向量 pc =

-0.4472 -0.8321 -0.8944 -0.5547

因为当k趋近于无穷大时，0.6^k 趋近于0.所以取1.可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当。系统趋向于不稳定平衡的状态。

五．实验结论

1.用Matlab软件可以方便的计算出矩阵的特征值和其对应的特征向量，从而能更好地帮助我们去分析动态系统Xk+1=AXk的演化过程。

2.熟练掌握特征值与特征向量的运算

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