实变函数习题(2)

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17. 设f(x)，g(x)在E上几乎处处相等，若f(x)可测，则g(x)可测.

2??x?2x?1,x为无理数18. 设f(x)??3，计算?f(x)dx.

?x?[0,1]?etanx,x为有理数

19. 设{fn}是E上一实函数，且有极限为f(x)，a为常数，求证：

1??1???E?xf(x)?a?=?liminfE?xfn(x)?a????liminfE?xfn(x)?a??

nk?k?1nk???k?1

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3n2x20. 设fn(x)?，x∈[0,1]，则lim?fn(x)dx?0.

n??1?n2x2[0,1]

21. 证明：limk??(0,??)?1?t??1??t?k?k1kdt?1.

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???x???1?x??122. 证明：lim??1??xdx??exdx??(?).

0n??n?(0,n)?n

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23. 证明：lim

nx4arctannxdx?0.

n???1?n2x2[0,1] 9 10 广州大学数学与信息科学学院2012～2013

24. 叙述并证明莱维（Levi）定理.

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25. 叙述并证明lebesgue控制收敛定理.

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