1第一章函数极限和连续1(3)

x?0时arcsinx~x，可引申为?(x)?0时，arcsin?(x)~?(x)； x?0时1?cosx~122x，可引申为?(x)?0时，1?cos?(x)~12?(x)；

1n ?(x)；

2x?0时n1?x?1~x1nx，可引申为?(x)?0时，n1??(x)?1~?(x)x?0时e?1~x，可引申为?(x)?0时，e?1~?(x)；

x?0时ln(1?x)~x，可引申为?(x)?0时，ln(1??(x))~?(x)．

三、连续

（一）连续的概念

1．连续的定义

连续性定义（1）：设函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果

?x?0lim?y?lim[f(x0??x)?f(x0)]?0，

?x?0则称函数y?f(x)在点x0连续（即自变量的变化量趋于零时函数值的变化量也趋于零）． 连续性定义（2）：设函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果lim则称函数y?f(x)在点x0连续． 2．左连续、右连续及区间连续 （1）左连续：limf(x)存在且等于

x?x0?x?x0f(x)?f(x0)，

f(x0)，即f(x0)?f(x0)； f(x0)，即f(x0)?f(x0)；

??（2）右连续：：limf(x)存在且等于

x?x0?（3）区间连续：若函数f(x)在区间每一点都连续，则称f(x)为该区间上的连续函数，或者说函数f(x)在该区间上连续．如果区间包括端点，则函数f(x)在右端点连续是指左连续，f(x)在左端点连续是指右连续． 说明：一切初等函数在其定义区间内都是连续的．

（二）函数的间断点

1．定义：设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，如果函数有下列三种情形之一： （1）在x?x0处没有定义；

?x0处有定义，但limf(x)不存在；

x?x0（2）虽在x（3）虽在x?x0处有定义，且limf(x)存在，但limf(x)?f(x0)，

x?x0x?x0则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点． 2．分类：

（1）第一类间断点：如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限f(x0)和右极限f(x0)都存在，那么

???x0称为函数f(x)的第一类间断点．f(x0)?f(x0)时称x0为可去间

???断点，f(x0)?f(x0)时称x0为跳跃间断点．

（2）第二类间断点：不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点．

（三）闭区间上连续函数的性质

1．有界性与最值定理：在闭区间[a,b]上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值．

2．零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即

f(a)?f(b)?0），那么在开区间(a,b)内至少有一点?，使得f(?)?0．

3．介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值

f(a)?A及f(b)?B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内

至少有一点?，使得f(?)?C（a?

??b）．

【典型例题】

【例1-1】求复合函数． 1．设f(x)?x1?2x，求f[f(x)]．

解：求f[f(x)]就是用f(x)代替x然后化简，得

xf[f(x)]?xx1?2x． ??x1?2x?2x1?4x1?2?1?2x2?x,2．设f(x)???3x,解：当0?e当1?ex0?x?11?x?2 ，g(x)?e，求f[g(x)]．

x22xx?1即x?0时，f[g(x)]?(e)?e，

x?2即0?x?ln2时，f[g(x)]?3e，

2xx?e,故f[g(x)]??x3e,?x?00?x?ln2 ．

【例1-2】求函数的定义域． 1．f(x)?arcsin(2x?1)?ln(1?x)．

arcsin(2x1)?可解：由arcsin(2x?1)可得?1?2x?1?1，即0?x?1；由得arcsin(2x?1)?0，即0?2x?1?1l1(，?x?1；由n12?)x可得1?x?0，

即x?1，故原函数的定义域为三部分的交集，即[12,1)．

2．f(x)?解：由x?1x?x?22?arccos(2?x)．

2x?1可得x?1?0，即x?1；由x?x?2?0即(x?1)(x?2)?0可

得x??1且x?2；由arccos(2?x)可得?1?2?x?1，1?x?3，故原函数的定义域为三部分的交集，即为[1,2)?(2,3]．

【例1-3】判断函数的奇偶性．

1．设f(x)和g(x)为任意函数，定义域均为(??,??)，试判定下列函数的奇偶性． （1）f(x)?f(?x)?g(x)?g(?x)

解：由奇偶性的判定可知，f(x)?f(?x)与g(x)?g(?x)均为偶函数，故其和亦为偶函数．

（2）f(x)?f(?x)?g(x)?g(?x)

解：由奇偶性的判定可知，f(x)?f(?x)为奇函数，g(x)?g(?x)为偶函数，故其和为非奇非偶函数． 2．判定函数f(x)?ln(x?解：因

x?1)的奇偶性．

2f(?x)?ln(?x?1x?1?x2(?x)?1)?ln(?x?22x?1)

2?ln??ln(x?1?x)??f(x)，故原函数为奇函数．

【例1-4】计算下列极限．

1．lim(n??12nnn解：当n??时，此题是无限个无穷小之和，不能直接求极限，先变形化简再计算：

?22???n2)．

1lim(n??1n2?2n22????nn2)?lim1?2???nn2n???lim2n??n(1?n)n2?12．

2．lim(n??1n?1n21n?2?122???11n?n2)．

1n?n2解：因

?nn?12n?nlimn??n?1n?22????nn?12，并且

nn?n2?，1limn???1，故原极限值为1．（夹逼准则）

3．lim(1?n??2n?2n)． 2n解：lim(1?n??2n?2n)?lim(1?2n??n2n?2n2)?lim(1?n??n2n?2n2n2)2n?2?n(2n?2)n22 ?e．

4．lim(n??2n?32n?1n)．

解：lim(n??2n?32n?1)?lim(1?n??n?42n?1)?lim(1?n??n?42n?1)2n?1?4n??42n?1?2?e．

【例1-5】计算下列极限．

1．limsinxx．

x??解：当x??时，

1x为无穷小，sinx虽没有极限但却是有界函数，故根据无穷小与有

界函数的乘积仍为无穷小，可得limsinxxx???0．

说明：本极限与limxsinx?021xn意义是一样的．

2．limx?1x?x???x?nx?12n．

解：limx?1x?x???x?nx?12?limx?1x?1?x?1???x?1x?1n?1n?22n

?lim[1?(x?1)?(x?x?1)???(xx?1?x???x?1)]

?1?2?3???n?n(n?1)2．

说明：此题也可用洛必达法则（见第三章）求解，过程如下：

limx?1x?x???x?nx?1sin(e?1)3xx2n?lim(1?2x???nxx?1n?1)?n(n?1)2．

3．limx?0．

xxx解：因当x?0时，sin(e?1)~e?1，e?1~x，

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