全国卷历年高考极坐标与参数方程真题归类分析（含答案）

全国卷历年高考极坐标与参数方程真题归类分析（含答案）

一、极坐标

1.（2015年1卷）在直角坐标系xOy中，直线C1:

x=?2，圆C2：

?x?1???y?2?22?1,

以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程； （Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为???4设C2与C3的交点为M,N ,求?C2MN的???R?，面积. 【解析】：（Ⅰ）因为x??cos?,y??sin?， ∴C1的极坐标方程为

?cos???2，C2的极坐标方程为

?2?2?cos??4?sin??4?0.……5分

（Ⅱ）将?=?42??32??4?0，解得代入??2?cos??4?sin??4?0，得2?1=22，?2=2，|MN|=?1－?2=2，

因为C2的半径为1，则C2MN的面积11?2?1?sin45o=. 221.（2015年2卷）在直角坐标系xOy中,曲线C1:??x?tcos?,(t为参数,且t≠0),其中0≤α<π,

y?tsin?,?

cos θ.

在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2(1)求C2与C3交点的直角坐标.

(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.

【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2

x=0.

???x????x???x?y??y???联立?，解得?，或?????y???y??x?y???x??????. ??C2与C3交点的直角坐标为(?,?)和(??,). ?? (2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.

因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2cos α,α).

所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4|sin(α-)|.当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.

3.（2107全国2卷理科22）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为?cos??4．

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足OM?OP?16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程； （2）设点A的极坐标为?2,?????，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值． 3?|OP|??． ?0?，P??，??，则OM??0，解析 （1）设M??0，???0?16?2由??0cos?0?4，解得??4cos?，化直角坐标方程为?x?2??y2?4?x?0?. ????0?（2）联结AC，易知△AOC为正三角形，|OA|为定值．所以当高最大时，△AOB的面积最大，如图所示，过圆心C作AO垂线，交AO于点H，交圆C于B点，此时S△AOB最大， Smax?11|AO|?|HB|?AO?HC?BC??3?2. 22y ? A (2, ) 3

H O B C (2,0) x

二、参数方程

1.（2016年3卷）在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为???x?3cosα (α为参数),

?y?sinα?以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin?θ???π??=22. 4?(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程.

(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

??π?11x2?x?3cosα【解析】(1)由?得+y2=1.因为ρsin?θ??=ρsinθ+ρcosθ=22, 43?y?sinα??22?x2所以x+y=4.所以C1的普通方程为+y2=1,C2的直角坐标方程为x+y=4.

3(2)由题意,可设点P的直角坐标为

?3cosα,sinα,因为C2是直线,所以PQ的最小值即

3cosα?sinα?42?π?2sin?α???2.

3???为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)=

?π当且仅当α=2kπ+6 (k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为2,此时P的直角坐标为?31??,? ?22??x?3cos?5.（2017年1卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（?为参数），

y?sin???x?a?4t?t为参数?. 直线l的参数方程为?y?1?t?（1）若a??1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.

2x解析 （1）当a??1时，直线l的方程为x?4y?3?0，曲线C的标准方程为?y2?1.

921??x?4y?3?0x???x?3??2?25联立方程?x，解得或，则C与l交点坐标是?3，0?和??2y?024???y?1?y??9?25??2124???，?. ?2525?（2）直线l一般式方程为x?4y?4?a?0，设曲线C上点p?3cos?，sin??． 则点P到l的距离d?3cos??4sin??4?a17?5sin??????4?a17，其中tan??3． 4依题意得dmax?17，解得a??16或a?8.

三、普通方程

（2016年1卷）在直线坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为??x?acost,?y?1?asint (t为参

数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ. (1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程.

(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.

【解析】(1)??x?acost,?y?1?asint (t为参数),所以x2+(y-1)2=a2. ①

所以C1为以(0,1)为圆心,a为半径的圆.方程为x2+y2-2y+1-a2=0.

因为x2+y2=ρ2,y=ρsinθ,所以ρ2-2ρsinθ+1-a2=0,即为C1的极坐标方程. (2)C2:ρ=4cosθ,两边同乘ρ,得ρ2=4ρcosθ,∵ρ2=x2+y2,ρcosθ=x, ∴x2+y2=4x.即(x-2)2+y2=4. ②

C3:化为普通方程为y=2x,由题意:C1和C2的公共方程所在直线即为C3. ①-②得:4x-2y+1-a2=0,即为C3,所以1-a2=0,所以a=1.

（2016年2卷）在直线坐标系xOy中，圆C的方程为?x?6??y2?25． （I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； ?x?tcos?（II）直线l的参数方程是?（t为参数），l与C交于A、B两点，AB?10，求?y?tsin?2l的斜率．

【解析】解：⑴整理圆的方程得x2?y2?12?11?0，

??2?x2?y2?由??cos??x可知圆C的极坐标方程为?2?12?cos??11?0． ??sin??y?

⑵记直线的斜率为k，则直线的方程为kx?y?0，

?10?由垂径定理及点到直线距离公式知：?25???2??， 21?k???6k2

51536k2902k?即，整理得，则k??． ?2331?k4?x?2+t6.（2017全国3卷理科22）在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为?（t为

?y?kt?x??2?m?参数），直线l2的参数方程为?．设l1与l2的交点为P，当k变化时，m（m为参数）y??k?P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设

l3：??cos??sin???2?0，M为l3与C的交点，求M的极径．

6．解析 ⑴将参数方程转化为一般方程l1:y?k?x?2? ① l2:y?1?x?2? ② k①?②，消k可得x2?y2?4，即点P的轨迹方程为x2?y2?4?y?0?.

?32x?????x?y?2?02. ⑵将极坐标方程转化为一般方程l3:x?y?2?0，联立?2，解得?2??y??2?x?y?4??2?x??cos?由?，解得??5，即M的极半径是5．

y??sin??

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