2009年清华大学自主招生数学试题（理科）

2009年清华大学自主招生数学试题（理科）

1．设5?1的整数部分为a，小数部分为b 5?1ab；?3?求lim?b?b2???bn?

n??2?1?求a,b；?2?求a2?b2?

2．?1?x,y为实数，且x?y?1，求证：对于任意正整数n，x2n?y2n?122n?1

abca,b,c???3，其中x,y,z为a,b,c的一种排列 为正实数，求证：2??xyz

3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论

x2y24．已知椭圆2?2?1，过椭圆左顶点A??a,0?的直线L与椭圆交于Q，与y轴

ab交于R，过原点与L平行的直线与椭圆交于P 求证：AQ，2OP，AR成等比数列

5．已知sint?cost?1，设s?cost?isint，求f(s)?1?s?s2???sn

6．随机挑选一个三位数I

?1?求I含有因子5的概率；?2?求I中恰有两个数码相等的概率

7．四面体ABCD中，AB?CD，AC?BD，AD?BC

?1?求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；

?2?设三个面与底面BCD所成的角分别为?,?,?，求证：cos??cos??cos??1

8．证明当p,q均为奇数时，曲线y?x2?2px?2q与x轴的交点横坐标为无理数

9．设a1,a2,??,a2n?1均为整数，性质P为： 对a1,a2,??,a2n?1中任意2n个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n个数，使得两组所有元素的和相等 求证：a1,a2,??,a2n?1全部相等当且仅当a1,a2,??,a2n?1具有性质P

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库2009年清华大学自主招生数学试题（理科）在线全文阅读。