有关抛物线焦点弦的十条性质[1](2)

p???x1?y0y1?2p2?p?2因为点M(?,y0)在直线MA、MB上，所以有?，

p2???x2?yy?2p202??2p2所以A(x1,y1)、B(x2,y2)坐标满足方程yy0?px?，

2Pp2故直线AB方程为yy0?px?，显然F(?,0)满足此方程，故A、F、B三点共线.

22由直线MA、MB方程可求得其斜率分别为kMA?2pp、kMB?， y1y2kMAkMBp，由上述性质1可得kMAkMB??1，所以MA?MB. ?y1y2p, y0y0, p由直线AB方程可求得其斜率kAB?由M、F坐标可求得直线MF斜率为kMF??所以kABkMF??1,所以MF?AB.

性质10:设AB、CD是抛物线过焦点F的两动弦，弦端点连线AC、BD交于点M，则动点M的轨迹是抛物线的准线。

y32y12y22证明：设抛物线方程为：y?2px (p?0)，A(,y1)，B(,y2)，C(,y3)，

2p2p2p2yy2py42x?13， D(,y4)，则直线AC方程为：y?y1?y3y1?y32py222p直线BD方程为：y?y2?(x?)，

y2?y42p由直线AB、CD过焦点F可得：y1y2??p,y3y4??p， 故直线BD方程可化为：y??222y1y3px?,

p(y1?y3)y1?y3p，即M的轨迹是抛物线的准线。 2联立直线AB、CD方程可得：xM??

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