证明组合恒等式的方法与技巧

证明组合恒等式的方法与技巧

摘要 本文是以高中二项式定理和排列组合知识为理论基础，对几个常见重要的例题作分析，总结组合恒等式常见的证明方法与技巧。对组合恒等式的证明方法本文主要讲了组合公式法，组合数性质法，二项式定理法，比较系数法，数列求和法，数学归纳法，组合分析法。

关键字 组合，组合数，组合恒等式，二项式定理

Proof Methods and Skills of Combinatorial Identity

ABSTRACT This thesis primarily analyses some common but significant examples on the basis of binomial theorem and permutation and combination knowledge of senior middle school to summarize the common demonstrating methods and technique of combinatorial identity. For combinatorial identity, here it mainly introduces the methods of combination formula, unitized construction, mathematical induction ，and so on .

KEY WORDS combination，combinatorial identity，binomial theorem

前言

组合恒等式在数学及其应用中占有不可忽视的地位,它是以高中排列组合、二项式定理为基础。组合恒等式的证明有一定的难度和特殊的

技巧，且灵活性很强，要求学生掌握这部分知识，不但要学好有关的基础知识，基本概念和基本技能，而且还要适当诱导学生拓宽思路、发挥才智，培养解决问题方法多样化的思想。下面就以例题讲解的形式，把证明组合恒等式的常见方法与技巧一一列举出来。

1. 利用组合公式证明

组合公式：Cnm=

n!

m（!n－m）！－1例1． 求证：mCnm=nCnm －1 分析： 这是组合恒等式的一个基本性质，等式两边都只是一个简单

的组合

数。由此，我们只要把组合公式代入，经过化简比较，等号两边相等即

可。

证：∵ mCnm=

－1 Cnm=－1m?n!

m（!n－m）！n（?n－1）!n（?n－1）!?mm?n!==

（m－1）（!n－m）！（m－1）（!n－m）！?mm（!n－m）！－1 ∴ mCnm=nCnm. －1技巧：利用组合公式证明时，只须将等式中的组合数用公式代入，经

过化简比较两边即可，此方法思路清晰，对处理比较简单的等式证明很

有效，但运算量比较大，如遇到比较复杂一点的组合恒等式，此方法不可取。

2. 利用组合数性质证明

组合数的基本性质：（1）Cnm=Cnn－m （2）Cnm=Cnm+Cnm－1 ＋1－1 （3）k ?Cnk=n ?Cnk－ 11 （4）Cn0＋Cn＋Cn2...＋Cnn＝2n

13nn （5）Cn0－Cn＋Cn2－Cn＋...＋（－1）Cn＝0

13例2：求证：Cn＋2?Cn2＋3?Cn...＋n?Cnn＝n?2n－1

分析：等式左边各项组合数的系数与该项组合数上标相等，且各项

－1上标是递增加1的,由此我们联想到组合数的基本性质：k ?Cnk=n ?Cnk－ ，1利用它可以将各项组合数的系数化为相等，再利用性质

1Cn0＋Cn＋Cn2...＋Cnn＝2n 可得到证明。

－1证：由k ?Cnk=n ?Cnk－ 得 113 Cn＋2?Cn2＋3?Cn...＋n?Cnn

1－1 ＝n?Cn0－1＋n?Cn Cn2－1...＋n?Cnn－－1＋n?112n－1 ＝n（Cn0－1＋Cn＋C...＋C－1n－1n－1）

＝n ?2n－1.

012k－1k－1例3．求证：Cm ＋Cm＝Cm＋1＋Cm＋2＋...＋Cm＋k－1＋k分析： 观察到，等式左边各项的组合数的上标和下标存在联系：上标＋m＝下标，而且各项下标是递增＋1的。由此我们想到性质（2），将左边自第二项各项裂项相消，然后整理而得到求证。

证：由性质（2）可得

iii－1 Cm=Cm+Cm （i∈N） ＋i＋1＋i＋iiii－1 即Cm＝－ CC＋im＋i＋1m＋i令i＝1，2，…，k－1，并将这k－1个等式相加，得

12k－1 Cm＋1＋Cm＋2＋...＋Cm＋k－11021k－1k－2＝Cm ＋2－Cm＋1＋Cm＋3－Cm＋2＋...＋Cm＋k－Cm＋k－10k－1＝－Cm＋ C＋1m＋k0k－1＝－Cm＋Cm ＋k012k－1k－1∴Cm. ＋Cm＝Cm＋1＋Cm＋2＋...＋Cm＋k－1＋k技巧：例2和例3的证明分别利用性质（3）（5）、（2）此方法的技巧关键在于观察，分析各项组合数存在的联系，读者应在平时实践做题总结，把它们对号入座，什么样的联系用什么样的性质来解决。

3. 利用二项式定理证明

我们都知道二项式定理：

n1n－1（a＋b）＝an＋Cnab＋Cn2an－2b2＋...＋Cnn－1abn－1＋bn，对于某些比较特殊的组

合恒等式可以用它来证明，下面以两个例子说明 3．1．直接代值

例4．求证：（1）1＋3?Cn1＋32?Cn2＋...＋3n－1?Cnn－1＋3n＝22n

1n－1n（2）2n－2n－1?Cn＋2n－2?Cn2＋...＋（－1）2?Cnn－1＋（－1）＝1

分析：以上两题左边的各项组合数都是以 Cnian－ibi 的形式出现，这样自然会联想到二项式定理。

n1n－1证：设 （a＋b）＝an＋Cnab＋Cn2an－2b2＋...＋Cnn－1abn－1＋bn ①

(1) 令a＝1，b＝3，代入①，得

n1(1＋3）＝1＋3?Cn＋32?Cn2＋...＋3n－1?Cnn－1＋3n

即，1＋3?Cn1＋32?Cn2＋...＋3n－1?Cnn－1＋3n＝22n (2) 令a＝2，b＝－1，代入①，得

n1（2－1）＝2n－2n－1?Cn＋2n-2?Cn2＋...＋（－）1n－1?2?Cnn－1＋（－）1n1n－1n即，2n－2n－1?Cn＋2n－2?Cn2＋...＋（－1）2?Cnn－1＋（－1）＝1.

技巧：此方法的关键在于代值，在一般情况，a，b值都不会很大，一般都是0， 1，－1，2，－2 , 3，—3这些数，而且a，b值与恒等式右边也有必然的联系，如上题中1＋3＝22，2－1=1,在做题的时候要抓住这点。

3. 2．求导代值

例5．求证： 21 ??Cn2＋3?2?Cn3＋...＋（n?n－1）?Cnn＝（n?n－1）?2n－2 （n≧2） 分析：观察左边各项组合数的系数发现不可以直接运用二项式定理，但系数也有一定的规律，系数都是i(i-1) i=2,3,…n 我们又知道

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