导弹追踪问题

作业名称：导弹追踪问题

问题描述：设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰．如果乙舰以最大的速度v0(常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程．乙舰行驶多远时，导弹将它击中？

解：通过对问题的分析，运用数学模型解析方法有：解析法，数值法，参数求解法。此问题将选取数值法解析。 （一）模型假设

设在ｔ时刻，乙舰所在点为（１，v0t），导弹所在点为P（x(t),y(t)），其速度由水平分速度和竖直分速度合成：

2?dx??dy???5v ??0????dtdt????22导弹方向指向乙舰，则有： ?（二）模型建立

dyvot?y? dx1?xdydx?v0t?y???? dtdt?1?x? 通过模型的假设可得出一阶微分方程组：

5v0?dx??dt2vt?y???1??0???1?x??5v0?dy? ?2?dt?1?x?1????vt?y?0???x(0)?0y(0)?0???v01?d2x?v0t?y???????? 消去t化为二阶方程： 22dy?dx?5v05???dy??1??dydp?p2?1令p?，得到一阶微分方程： ?

dxdx1?x?Inp?1?p2?C1???In?1?x?

??又p|x?0?0，得C1?0。代回方程，经整理得：

?? p?1?p2??1`?x?

1111?所以 y'??1?x?5??1?x?5?C2

2246555最后可求得一个近似解：y???1?x?5??1?x?5?

81224（三）计算结果

当x＝1时，y＝55，即当乙舰航行到（1，）处时被甲舰2424发射的导弹击中，被击中的时间为t＝y5＝。若取v0＝1，则24v0v0在t＝0.21时被击中，这与通过模拟曲线求解的结果非常近似。

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