习题六（A）
4． 求通过点（1,1,-1），（-2,-2,2），（1,-1,2）的平面方程。
解：设所求平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0（A，B，C不全为0），则
?A???B??C???D??C2?3C 2?C?0?A?B?C?D?0???2A?2B?C?D?0?A?B?2C?D?0??显然C≠0，消去C并整理可得所求的平面方程为 x?3y?2z?0。 5．求下列函数的定义域并画出定义域的示意图： （1）z?x?y； （2）z?ln(y2?2x?1)；
（3）z?arcsin(y?x)?lnln(10?4x?y)； （4）z?x1?x?y22222y?4xln(1?x?y)xy2222；
（5）z?ln(y?x)?； （6）z?arcsin?arcsin(1?y)．
注意：通过不等式或不等式组画定义域时，可以将不等式先变成等式，求出其边界方程，再确定定义域在边界的哪一边。
?x?0????x?y?0?x?y?0解：（1）由?，得?，即?y?0。
???2?y?0?y?0?x?y故所求定义域为(x,y)x?0,y?0,x?y。
2（2）由y?2x?1?0，得所求定义域为(x,y)y?2x?1?0。
?2??2?222?????1?y?x?1??1?y?x?1??1?y?x?1（3）由?，得?，即?。
222222????ln(10?4x?y)?0?10?4x?y?1?4x?y?9故所求定义域为(x,y)?1?y?x?1且4x?y?9。
?y2?4x?0?y2?4x??（4）由?，得?。
2222???1?x?y?0?x?y?1
1
?222?
故所求定义域为(x,y)y2?4x且x2?y2?1。
?y?x?0?y?x??（5）由?x?0，得?x?0。
??22221?x?y?0??x?y?1??故所求定义域为(x,y)y?x且x?0且x2?y2?1。
x??1??12???y2?x?y2y???y2?x?y2??（6）由?y?0，得?y?0，即?。
?0?y?2??1?1?y?1?0?y?2??????故所求定义域为(x,y)?y?x?y且0?y?2。 6．设z?y?f(3x?1)，并且已知y?1时z?x，试求f(x)及z的表达式．
?22?（设F(x,y)?） y?f(3x?1)，已知F(x,1)?x，求f(x)及F(x,y)的表达式．
1?f(3x?1)，即f(3x?1)?x?1。
解：由y?1时z?x，得x?代人z?令u?3y?f(3x?1)，得z?y?x?1。
x?1，则x?(u?1)3。代人f(3x?1)?x?1，得f(u)?(u?1)3?1。
332因此f(x)?(x?1)?1，即f(x)?x?3x?3x。
327．设函数f(x,y)?x?2xy?3y，试求：（1）f(1,2)； （2）f(x,xyy32xy)．
解：由f(x,y)?x?2xy?3y，可得
32（1）f(1,2)?(1)?21?2?3(2)，即f(1,2)?13?4?12； 2xyxxyyxyxyxy32xxyxxy)?3??3xy.
yyx（2）f(,y3xy)?(x)?2xyyxy?3(xy)，即f(x,y28．证明下列函数是齐次函数，并指明各是几次齐次函数：
提示：设二元函数z = f (x,y) 的定义域为D，当 (x,y)∈D 时，对任意实数t有 (tx, ty) ∈D。如
果存在常数k，使对任意的(x,y)∈D，恒有f (tx, ty) = t k f (x,y)，则称为z = f (x,y) 二元
2
k次齐次函数。
方法：由f (x,y)得f (tx, ty)，如果f (tx, ty) = t k f (x,y) ，那么f (x,y) 是二元k次齐次函数，否
则f (x,y) 不是二元k次齐次函数。 例如：设f(x,y)?xx2?y2?2xy，求得
f(tx,ty)?tx(tx)?(ty)?2txty?t(x?y?2xy)?tf(x,y)
222222 所以 f (x,y) 是二元2次齐次函数。
2（1）f(x,y)?x?xysinx； （2）f(x,y)?x3?3x2y?5xy2；
y（3）f(x,y)?2x?3yx?y2233； （4）f(x,y)?xe8?yx； （5）f(x,y)?lnx?y?xx?y?y2222．
222解：（1）?f(tx,ty)?(tx)?(txty)sintx?t(x?xysinx)?tf(x,y)
tyy∴f (x,y) 是二元2次齐次函数。
（2）?f(tx,ty)?(tx)3?3(tx)2ty?5tx(ty)2?t3(x?3x2y?5xy2)?t3f(x,y) ∴f (x,y) 是二元3次齐次函数。 （3）?f(tx,ty)?2(tx)?3(ty)(tx)?(ty)2233?t2x?3yx?y2233?tf(x,y)
∴f (x,y) 是二元1次齐次函数。 （4）?f(tx,ty)?(tx)e8?tytx?txe88?yx?tf(x,y)
8∴f (x,y) 是二元8次齐次函数。 （5）?f(tx,ty)?ln(tx)?(ty)?tx(tx)?(ty)?ty2222?lnx?y?xx?y?y2222?tf(x,y)
0∴f (x,y) 是二元0次齐次函数。
y?x9．设函数f(1,1)?，求f(x,y)．
xy2x?y22解：令1?u,x1?v，则 x?1,yuy?1，代入已知等式，得
v 3
22(1)?(1)22vuu?v f(u,v)??22112uv?uv2?uv因此，f(x,y)?10．求下列极限：
1x?y22222xy?xy．
（1）lim(2?xy)x?3y??13x?xy2； （2）lim(x2?y2)sinx??y??8x?y22；
（3）limexy?1x?0y?1sinxy； （4）limxy?1?1xy．
x?0y?0注意：求二元函数极限时，要适当运用一元函数求极限的方法。
1解：（1）lim(2?xy)x?3y??13x?xy2?lim?1?(1?xy)?x?3y??131?11?xyx1??1???lim?1?(1?xy)?xy1??x?3，y??3lim11??x?3x ?e3 ???（2）lim(x2?y2)sinx??y??8x?y22sin?8limx??y??8x?y
82222u?8x?y22?8limsinuuu?0?8
x?ye?1e?1xylimu?xye?11xyu?0u（3）lim?lim?limu???1 x?0sinxyx?0sinxyx?0sinu1limsinuy?1y?1y?1u?0uuxyexy?1uu（4）limxy?1?1xyx?0y?0?lim(xy?1)?122x?0y?0xy(xy?1?1)2?lim1xy?1?1x?0y?0?10?0?1?1?12
补充：（1）
(x,y)?(2,1)limarctan(x?y)； （2）
(x,y)?(0,0)limxyxy?4?22；
（3）
(x,y)?(2,0)limsinxyy ； （4）
(x,y)?(0,0)lim1?cos(x?y)(x?y)?e222xy2．
解答：（1）
(x,y)?(2,1)limarctan(x?y)?arctan(2?1)?arctan1??4
22 4
（2）
(x,y)?(0,0)limxyxy?4?2?(x,y)?(0,0)limxy(xy?4?2)(xy?4)?222?(x,y)?(0,0)lim(xy?4?2)
?0?0?4?2?4 sinuu2（3）
(x,y)?(2,0)limsinxyy?(x,y)?(2,0)limxsinxyxy（?(x,y)?(2,0)limx?limu?0）?2?1?2
（4）
(x,y)?(0,0)lim1?cos(x?y)(x?y)?e2222222xy?(x,y)?(0,0)lim1exy?(x,y)?(0,0)lim1?cos(x?y)(x?y)22222
?1e0?0?(x,y)?(0,0)lim22x?y?x?y2sin()sin?212（?lim?22222(x,y)?(0,0)x?y2(x?y)??2222?x?yu?2?）????sinu?2?11lim?u?0??2??1??2 u??211．证明：当(x,y)?(0,0)时，
xyx?y422的极限不存在。
注意：二元函数极限存在时，应该能按任何路径趋于同一确定极限，否则二元函数极限不存在。 证：令动点P (x, y)沿直线y?kx趋向原点（0,0），则有
xyx?y22(x,y)?(0,0)lim42?limx?kxx?kx4222x?0?limkxx?k22x?0?k?00?k22?0，
令动点P (x, y)沿抛物线y?x趋向原点（0,0），则有
xyx?y422(x,y)?(0,0)lim?limx?x42222x?0x?(x)?lim12x?0?12，
由此可见，当点沿不同路径趋向原点时，函数趋向不同的值，因此该二元函数的极限不存在。 补充：证明极限
limxy224(x,y)?(0,0)x?y不存在。
证：令动点P (x, y)沿直线y?kx趋向原点（0,0），则有
xy224(x,y)?(0,0)limx?y?limx?(kx)2424x?0x?kx?limkx1?kx222x?0?k?01?k0222?0，
令动点P (x, y)沿抛物线y?x趋向原点（0,0），则有
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