3.2.1实际问题中导数的意义

3.2导数在实际问题中的应用 3.2.1实际问题中导数的意义

【学习目标】

1．利用实际问题进一步巩固和加强对导数概念的理解。

2.理解瞬时速度、边际成本等概念，并能利用导数求解有关实际问题 3.了解数学来源于现实生活又服务于现实生活的本领 【重点与难点】

重点：求解有关函数的实际问题

难点：把实际问题转化成抽象的函数问题 易错:点解决实际问题时注意函数的定义域 【学习脉络】

请沿着以下脉络预习：实际问题?数学模型?函数求导?解决问题 体会导数在解决实际问题中的作用，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高 【自主预习】

1、用导数法求函数的极值的方法和步骤：

① .

② . ③ . 2、导数的几何意义： 【自学检测】

1.质点的运动规律为s?t?3，则在时间(3,3??t)中，相应的平均速度等于（ ） A.6??t B. 6??t?229 C.3??t D. 9??t ?t2.函数y?x在x0到x0??x之间的平均变化率为k1，x0??x到x0之间的平均变化率为

k2，则（ ）

A.k1?k2 B. k1?k2 C. k1?k2 D. 不确定

3.某一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s?3t?t，则物体的初速度是 4.设函数f(x)?x2?1在x?1处可导，在求f'(1)的过程中，设自变量的改变量为?x， 则?y?

5. 一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s?3t?t，求此物体在t=2时的瞬时速度.

22【典型例题】

例1．自由落体运动的方程为s?12gt 2（1） 求t从3s变到3.1s时，s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；

‘（2） 求s （3）【知一反三】1、如果质点A按规律s?3t2运动，则在t=3时的瞬时速度为（ ） A．6 B.18 C.54 D.81

2、若已知函数f(x)?2x2的图像上一点(1,2)及邻近一点(1??x,2??y),则

?y?( ) ?x2?x） A.4 B.4x C.4?2?x D. 4?（2【课时训练】

1、在导数的定义中，自变量的增量?x应满足（ ）

A．?x>0 B. ?x<0 C. ?x=0 D. ?x?0 2.下列四个命题

①曲线y?x3在原点处没有切线

②若函数f(x)?x，则f(0)?0

③加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数

④函数y?x5的导函数的值恒非负 其中真命题的个数（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

3.内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为( ) A.

'R347545和R B. R和R C. R和R D.以上都不对 2255551???1a,a2???2?处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a? 4. 若曲线y?x在点?（A）64 （B）32 （C）16 （D）8

25.设质点按函数s?160t?15t所表示的规律运动，则质点在时刻t?3时的瞬时速度为

2y?1?x6、如图5，内接于抛物线的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C、D在x

轴上运动，则此矩形的面积最大值为____________

8.已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y?4?x在x轴上方的曲线上，

求这种矩形的面积的最大者的边长．

2

【自主预习】答案

1、 (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值

2、参考课本

【自学检测】答案

1、A； 2、D； 3、3； 4、2?x+?x 5、由于

2?s?3(2??t)?(2??t)2?(3?2?22)?3?t?4?t?(?t)2???t?(?t)2?s??1??t?t?s?v?lim??1?t?0?t?所以，物体在t=2时的瞬时速度为-1

【典型例题】例1【思路分析】（1）求s关于时间t的平均变化率，即求

‘‘ （2）先求 s（t），再求s（3）

?s； ?t【解析】（1）?s?s(3.1)?s(3) ?11g?3.12?g?32?0.305g 22?t?0.1??s?3.05g(m)

s?t它表示从t=3s到t=3.1s这段时间内，自由落体运动的物体的平均速度为3.05g(m)

s（2）s?gt,?s(3)?3g(m)

''s它表示自由落体运动的物体在t=3s时的瞬时速度为3g(m)

s【规律小结】（1）函数y?f(x)在x0处的导数f?(x0)就是导函数在x0处的函数值； （2）瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间的导数，即v(t)?S?(t)； （3）瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间的导数，即a(t)?v?(t)

【知一反三】1、B 2、C；

【课时训练】

1、D；2、解析:A; ①②③为假命题, ④为真命题. 3、B;

313???1?311y'??x2,?k??a2y?a2??a2(x?a)2224、解析：A； ，切线方程是，令x?0，

3?1y?a22，

5、瞬时速度为v?70．

436、解析：9；设B（x、y），则由抛物线的对称性知A（－x，y），

?|AB|?2x，|BC|?y?1?x2

∴令矩形ABCD面积为S

2则S?2x(1?x)(0?x?1)

令

S'?2?6x2?0?x?33(x??舍去)33

∴由实际意义，

x?3314Smax?2?(1?)?33时，339

27、解析：设矩形边长AD?2x，则AB?y?4?x．

2) 则矩形面积为S?2x4?x (0?x?2，

??即S?8x?2x，所以S?8?6x，

3'22323，x2??（舍去）． 332323''当0?x?时，S?0；当x?时，S?0，

33823323所以当x1?时，S取得最大值，此时，S最大值?，y?．

339令S?0，解得x1?'即矩形的边长分别为

438，时，矩形的面积最大． 33

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