1979年高考数学全国卷（理科）

高考试卷 新疆奎屯市第一高级中学

王新敞

1979年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科）

一．（本题满分6分）

若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证：x,y,z成等差数列 证：(z-x)2-4(x-y)(y-z)=（x+z)2-2·2y(z+x)+4y2

=(z+x-2y)2=0

∴2y=x+z,所以，x,y,z成等差数列 二．（本题满分6分）

化简:1?1?解:原式?1?1?1111?cscx111?ctgx22.?1?111?tgx2?1?11cscx2?1sin2x?cscx2

三．（本题满分6分）

甲，乙二容器内都盛有酒精甲有V1公斤，乙有V2公斤甲中纯酒精与水（重量）之比为m1:n1 ,乙中纯酒精与水之比为m2:n2问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？

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王新敞

解:甲中含纯酒精乙中含纯酒精m1v1m1?n1(公斤),含水n1v1m1?n1(公斤),m2v2m2?n2(公斤),含水n2v2m2?n2(公斤)甲乙共含纯酒精m1v1m1?n1n1v1m1?n1?m2v2m2?n2n2v2m2?n2?m1v1(m2?n2)?m2v2(m1?n1)(m1?n1)(m2?n2)n1v1(m2?n2)?n2v2(m1?n1)(m1?n1)(m2?n2)公斤

甲乙共含水??公斤混合后,纯酒精与水之比为[m1v1(m2?n2)?m2v2(m1?n1)]:[n1v1(m2?n2)?n2v2(m1?n1)]

四．（本题满6分） 叙述并证明勾股定理 证：略

五．（本题满10分）

外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域设A及B

是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得∠BAP=α同时在B站测得∠BAP=β问α

及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？ 解：作PC⊥AB于C，设PC=d， 在直角三角形PAC中，AC=d·ctgα在直角三角形PC中，BC=d·ctgβ

P

A α β B C

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∴S=AC+BC=d（ctgα+ctgβ） 当d≤D，即ctgα+ctgβ≥时，应向外国船发出警告 SD六．（本题满分10分）

设三棱锥V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角 求证：△ABC是锐角三角形

C

证一：设VA=a，VB=b，VC=c，AB=p， BC=q，CA=r 于是p2=a2+b2, q2=b2+c2, r2=c2+a2 V

D A B

由余弦定理：

cos?CAB?a?b?c?a?(b?c)2a?b?c?a??CAB为锐角.2222222222?a22222?0a?b?c?a

同理，∠ABC，∠BCA也是锐角 证二：作VD⊥BC，D为垂足因VA垂直于平面VAC，所以

VA⊥BC又BC⊥VD，所以BC垂直于平面VAD，从而BC⊥AD 及在△ABC中，A在BC边上的垂足D介于B和C之间因此，

∠B和∠C都是锐角，同理可证∠A也是锐角 七．（本题满分12分）

美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x<0.1,可用：ln(1+x)≈x，取lg2=0.3,ln10=2.3) 解：年增长率x应满足

100（1+X)40=500,即（1+X)40=5.

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取自然对数有 40ln(1+x)=ln5.

又lg5=1-0.3=0.7 ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61 利用ln(1+x)≈x,则有

x≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4% 答：每年约增长百分之四 八．（本题满分12分） 设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长线相交于点B求证： C E

F A B D

BFAE?BCAC33

证：连接CD因∠CFD=900，所以CD为圆O的直径，

又AB切圆O于D，

∴CD⊥AB又在直角三角形ABC中，∠ACB=900，

∴AC2=AD·AB，BC2=BD·BA ?BDAD?BCAC22. (1)

又因 BD2=BC·BF，AD2=AC·AE ?BDAD22?BC?BFAC?AE (2)

33由（1）与（2）得

BC?BFAC?AE?BCAC44?BFAE?BCAC

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九．（本题满分14分） 试问数列lg100,lg(100sin?4),lg(100sin2?4),?,lg(100sinn?1?4)前多少项

的和的值最大？并求这最大值（lg2=0.301)

解：该数列的第k项为：

ak?lg(100sinn?1?4)?2?12(k?1)lg2

所以这个数列是递减等差数列，且其首项为2要使前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数因此，k应

适合下列条件：

1?2?(k?1)lg2?0, (1)??2??2?1[(k?1)?1]lg2?0, (2)??2解此不等式组:由(1)得又k?N,?k?14取k?14,前14项的和S?a1?a142?14?28?912?0.3010?14.30.k?14.2由(2)得k?13.2

十．（本题满分18分）

设等腰△OAB的顶点为2θ，高为h 1．在△OAB内有一动点P，到三边OA，OB，AB的距离分别为|PD|，|PF|，|PE|，并且满足关系|PD|·|PF|=|PE|2求P点的轨迹 2．在上述轨迹中定出点P的坐标，使得|PD|+|PE|=|PF|

Y

A D P E α

O θ h X F B

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解：设OP与正X轴的夹角为α，P的坐标为（x,y）,则

OP?x?y.22PD?OPsin(???)?OP(sin?cos??cos?sin?) ?xsin??ycos?PF?OPsin(???)?OP(sin?cos??cos?sin?) ?xsin??ycos?由条件PD?PF?PExsin222222得2??ycos??(h?x), (1)2222

即xcos??2hx?ycos??h除以cos??0得x?22?02hcos?h22x?y?)?y222h22cos??(h?0)2

为半径的圆.即(x?sin?cos?2cos?h2这是以(cos?,0)为中心,以hsin?cos?2

sin?cos?2所求轨迹是此圆在所给等腰三角形内的一部分hcos?2注意:在A作直线AE??OA.则OE??E?是圆的中心.AE??h是圆

的半径,.A是圆上一点,而且圆在A的切线是OA.2.由条件PD?PE?PF得xsin??ycos??h?x?xsin??ycos?即x?2ycos??h. (2)此直线通过xsiny?22(h,0)点及(0,22h2cos?22)点由(1),(2)得2222??ycos??4ycos??5ycos??xsintg??x?,

15由PD?PE?PF可知y?0,所以这里右端取正号.代入(2)得x(1?2515sin?)?h?x?1?5h5?2sin?h25sin??5h5?2sin?y??tg??5hhtg?5?2sin?,htg?5?2sin?)

所求点P的坐标为(5?2sin?

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