信息分析方法 - - 马尔柯夫(2)

牌的有15人，转购B品牌的有15人 。若以后各月顾客在这三个品牌之间的保留率、转出率和转入率与此相同，且估计今后一段时间这三种品牌牙膏都不会退出该市场，也没有新品牌牙膏在此市场销售。要求预测：(1)6 、7月份各月三品牌牙膏的市场占有率和销售量；(2)达到市场竞争均衡状态的三种品牌牙膏的市场占有率和销售量。

解：1.划分状态和计算初始状态概率。 由于该地区牙膏市场主要三个品牌的产品占领，因此有三种状态存在。设状态1为购买A品牌牙膏，状态2为购买B品牌牙膏，状态3为购买C品牌牙膏。

5月份各品牌的市场占有率为初始状态概率，且

S1=8500/20000=0.425, S2=6500/20000=0 .325, S3=5000/20000=0.25

?0??0??0?初始状态概率向量为 S=(0.425 0.325 0.25)

2.确定一步转移概率矩阵。

将根据市场调查资料计算的各状态转移频率作为其状态转移概率的近似值，则 P11=140/200=0.7, P12=40/200=0.2, P13=20/200=0.1 P21=30/150=0.2, P22=100/150=0.67, P23=20/150=0.13 P31=15150=0.1, P21=15/150=0.1, P33=120/150=0.8 因此，一步转移概率矩阵为

(0)

?0.7?P?0.2???0.10.20.670.10.1??0.13?0.8??

矩阵中，每一行元素表示各品牌牙膏顾客的保留率和转出率；每一列元素表示各品牌牙

膏顾客的保留率和转入率。

3.利用马尔柯夫预测模型进行预测。

预测6、7各月份三种品牌牙膏的市场占有率

S?S1,S2,S3?SP

?0.7?=(0.4250.325 0.25) 0.2???0.10.20.670.10.1??0.13

?0.8???1???1??1??1???0? =(0.3875 0.3278 0.2847)

S?2??S1,S2,S3??2??2??2???S??P

1?0.7?=(0.3875 0.3278 0.2847) 0.2???0.10.20.670.10.1??0.13

?0.8??=(0.3653 0.3256 0.3091)

即A、B、C三种品牌6月份的市场占有率分别为38.75%、32.78%和28.47%；7月份的市场占有 率分别为36.53%、32.56%和30.91%。

相应地，6、7月份各品牌牙膏销售量预测值为 6月份 A：20000×38.75%=7750(支) B：20000×32.78%=6556(支) C:20000×28.47%=5694(支)

7月份 A：20000×36.53%=7386(支) B:20000×32.56%=6512(支) C:20000×30.91%=6182(支)

4.求稳定状态下的各品牌牙膏的市场占有率。

由上计算可以看出，随着时间的推移，A、B品牌牙膏的市场占有率趋于下降，C品牌牙膏的市场占有率趋于上升。由于顾客在各品牌之间不断转入、转出，经过较长时间后，各品 牌市场占有率将趋于稳定。

求得其稳定状态的市场占有率，即

?n?TS?S1?n???P11?1??n?????S2??P?12?S?n???1?3??0.20.67?11P21P22?110.1??0.1?1???1P31??P31?1???1?0???0 ????1????????0.7?1? =0.2???1?0??0.3272???0.30860=

?????0.3642?1???

即在稳定状态下，A、B、C三种品牌牙膏市场占有率分别为32.72%、30.86%和36.42%。

相应地，三种品牌牙膏的稳态销售量预测值为 A: 20000×32.72%=6544(支) B: 20000×30.86%=6172(支) C: 20000×36.42%=7284(支)

⒉ 市场销售状态预测

对产品未来市场销售状态预测，是根据其未来状态发生的概率按最大可能原则作出判断的。

【例】某大型百货商场某商品近二年的各月销售量统计数据如下表所示，试预测第25期该商品的销售状态。

某种商品各月销售量统计数据 单位：百件

时序t 1 2 3 4 5 6 7 销售量Yt 75 63 103 78 149 53 49 时序t 9 10 11 12 13 14 15 销售量Yt 143 82 98 57 115 82 89 时序t 17 18 19 20 21 22 23 销售量Yt 128 64 82 110 161 79 83 8 102 16 104 24 109 解：1. 绘出散点图。利用EVIEWS软件中的命令

Plot Y

由图可以看出，该时间序列无明显的上升或下降趋势变动，也没有明显的季节变动，因此采用确定性时间分析预测法预测是不恰当的。该时间序列含有明显的不规则变动，并经分析第t期的销售量与第t-1期销售量有一定关系，而与第t-2期及以前各期销售量关系不大，因此，可以考虑采用马尔柯夫预测法进行预测其未来月份的销售量。

2.划分状态

根据该产品的质量、性能和价格、当地居民收入水平和消费偏好、该商品保本销售量以及该商场所处的地理位置和信誉等因素综合分析，认为该商品的销售量可划分为畅销、平销和滞销三种状态。各状态之间的具体数量界限是(每月销售量)：

Yt≥120百件 畅销状态

70百件≤Yt＜120百件 平销状态 Yt＜70百件 滞销状态

3.计算一步转移概率和一步转移概率矩阵

用Mi表示销售状态点数，Mi j表示从状态i转向状态j的点数，Pij表示由状态i转向状态j的一步转移概率(i，j= 1,2,3),分别表示畅销、平销和滞销。

M1=4 M11=0 M12=2 M13=2 M2=15 M21=4 M22=8 M23=2 M3=5 M31=0 M32=4 M33=1

注意，在计算一步转移概率时，最后一个数据点不参与计算，因为它究竟转向哪个状态此时尚不清楚，也是我们进一步计算后需要作出判断的。 P11=0/4=0 P12=2/4=0.5 P13=2/4=0.5

P21=4/(15-1)=0.286 P22=8/(15-1)=0.572 P23=2/(15-1)=0.142 P31=0/5=0 P32=4/5=0.8 P33=1/5=0.2 因此，一步转移概率矩阵为

?0?P?0.286???00.50.5720.80.5??0.142

?0.2??4.进行预测

由于第24期该商品销售量为109百件，属于平销状态，由此经过一步转移到达各个状

态的概率分别为

P21=0.286 P22=0.572 P23=0.142

由于P22＞P21＞P23，按最大可能原则判断，第25期该商品的销售量 在70～120百件之间的可能性最大，因此，可预测第25期该商品的销售状态为平销状态。

六、马尔柯夫预测法的软件实现

⒈打开灰色预测软件的EXCEL文件，如果遇到EXCEL提示的安全性警告框，则调整EXCEL中宏的安全级别，选择菜单“工具－宏－安全性”，后调整安全级别为中级。

⒉再次打开EXCEL，遇到关于宏的对话框，则点击“启用宏”按钮。 ⒊进入马尔柯夫预测法软件界面（见图9-12），在工作表中输入“初始状态”、“一步转移概率矩阵”数据。

图9-12 马尔柯夫预测法软件界面

⒋点击“马尔可夫预测法” 按钮，进入初始状态输入范围对话框（如图9-13）。

图9-13 初始状态输入范围对话框

输入数据范围，例如：B2:D2，后按“确定”。 ⒌在随后出现的“一步转移概率矩阵输入范围”对话框中（见图9-14）输入数据范围，在本例中B4:D6，尔后按确认键。

图9-14 一步转移概率矩阵输入范围对话框

⒍进入转移次数对话框，输入需要转移的次数（见图9-15），按确认键后得到预测结果。

图9-15 一步转移概率矩阵输入范围对话框 ⒎在“马尔可夫法一步预测结果输出”（或“马尔可夫法多步预测结果输出”）工作薄中得到具体预测结果及最终稳态结果。本例结果如下： 一步预测结果输出：0.3875，0.32775，0.28475 最终稳态结果输出：0.32716，0.308642，0.36420

软件计算与手工计算结果相同。

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