2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题(3)(4)

需费用的平均数为×(4 0×90+4 5×10)=4 0.5万元。

比较两个平均数可知，今年应为该乡村中学招聘19名教师。

【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及柱状图与平均数公式的应用，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 21.21.已知函数(1)求函数(2)若

的极值；

，求实数m的取值范围.

的图像在

处的切线与直线

平行.

【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】 （1）求得

的导数，利用导数的几何意义可得切线的斜率，由两直线平行的条件，斜率相

的导数和单调区间，即可得到所求极值；（2）设

在

上为增函数，求得

，可得

等，可求得的值，求出

，等价于的导数，再由

参数分离和构造函数，求出最值，即可得到所求的范围. 【详解】(1)f(x)=ax+1?xlnx的导数为f′(x)=a?1?lnx， 可得f(x)的图象在A(1,f(1))处的切线斜率为a?1， 由切线与直线x?y=0平行，可得a?1=1， 即a=2,f(x)=2x+1?xlnx， f′(x)=1?lnx，

由f′(x)>0,可得0e， 则f(x)在(0,e)递增,在(e,+∞)递减，

可得f(x)在x=e处取得极大值，且为e+1，无极小值； (2)可设由

,若?

∈(0,+∞)， ,可得

，

即有恒成立，设在(0,+∞)为增函数，

即有g′(x)=1?lnx?2mx0对x>0恒成立， 可得由

在x>0恒成立， 的导数为

，

得：

当h′(x)=0,可得

h(x)在(0, )递减,在(,+∞)递增， 即有h(x)在x=处取得极小值,且为最小值可得解得

，

则实数m的取值范围是

【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性、极值与最值，转化与划归思想的应用以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数(

即可)或

恒成立（

或

即可）；② 数形结合(恒成立；④ 讨论参数.

图象在

恒成立

上方

即可)；③ 讨论最值

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