数列求和及综合应用(2)

a1a2a3???an?(2)bn【解析】（1）由题意

b3?b26b?b?6a?(2)?(2)?8 323，知

n*an?a?2?a?2(n?N) q?2q??21n又由，得公比（舍去），所以数列的通项

所以a1a2a3???an?2n(n?1)2?(2)n(n?1)，所以数列?bn?的通项bn?n(n?1)(n?N*) 1111111??n?(?)(n?N*)Sn??n*anbn2nn?1(n?N) n?12所以

cn?1?n(n?1)??1?nn(n?1)?2??

（2）①由（1）知

cn?②因为c1?0，c2＞0,c3＞0,c4＞0； 当n≥5时，

n(n?1)5(5?1)n(n?1)(n?1)(n?2)(n?1)(n?2)≤＜1??＞0n5nn?1n?1222而2 得2

所以，当n≥5时，cn＜0

*n?N综上，对任意恒有S4≥Sn，故k?4.

7. （2014·上海高考理科·Ｔ23）已知数列{an}满足an?an?1?3an,n?N*,a1?1. （1）若a2?2,a3?x,a4?9，求x的取值范围； （2）若{an}是公比为q等比数列，Sn?a1?a2?取值范围； （3）若a1,a2,131?an，Sn?Sn?1?3Sn,n?N*,求q的

3,ak成等差数列，且a1?a2?,ak的公差.

?ak?1000，求正整数k的最大值，以及

k取最大值时相应数列a1,a2,【解题指南】

11(1)根据a2?a3?3a2,a3?a4?3a4可求得x的范围.(2)需对q分类讨论，若q?1，33易得符合题意，若q?1时，再通过放缩法解不等式组即得结论.(3).当k=1000,12d=0是一组解，故kmax?1000,根据an?an?1?3an,可得d??,然后根据a1?

32k?12a2??ak?1000,得到关于d的关系式，而d??得到关于k的不等式，2k?1解此不等式即得.【解析】

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12(1)依题意，a2?a3?3a2,??x?6;331又a3?a4?3a4,?3?x?27;综上可得；3?x?6;311(2)由已知得，an?qn?1,又a1?a2?3a1，??q?3331n当q?1时，sn?n,sn?sn?1?3sn,即?n?1?3n,成立.33qn?111qn?1qn+1?1qn?1当12qn?2?0对于不等式qn?1?3qn+2?0，令n?1,得q2?3q?2?0,解得1?q?2又当1?q?2时，q?3?0?qn?1?3qn+2?qn(q?3)?2?（qq?3)?2?(q?1)(q?2)?0成立?1?q?211?qn111?qn1?qn+11?qn当?q?1时，sn?,sn?sn?1?3sn,即??331?q331?q1?q1?q?3qn?1?qn?2?0?此不等式即?n?1n?q?3q?2?03q?1?0,q?3?0n?3qn?1?qn?2=q（3q-1)-2<2qn?2?0qn?1?3qn+2?qn(q?3)?2?（qq?3)?2?(q?1)(q?2)?01??q?1时，不等式恒成立31综上，q的取值范围为?q?23（3）设公差为d,显然，当k?1000,d?0时，是一组符合题意的解，故kmax?10001+（k?2)d?1?(k?1)d?3(1?(k?2)d)3?(2k?1)d??2???(2k?5)d??222当k?1000时，不等式即d??,d??2k?12k?5则由已知得

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22k?1k(k?1）da1?a2??ak?k??100022000?2k2?k?1000时，d???（kk?1)2k?1?d的取值范围为d??解得1000-999000?k?1000?999000?k?1999?k的最大值为1999，此时公差d?2000?2k19981????（kk?1)1999?19981999

8.(2014·江西高考文科·T17)已知数列的前n项和Sn=,n∈N*. (1)求数列的通项公式.

(2)证明:对任意的n>1,都有m∈N*,使得a1,an,am成等比数列. 【解题指南】(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)解决. (2)a1,an,am成等比数列,转化为=a1·am.

【解析】(1)当n=1时a1=S1=1;当n≥2时an=Sn-Sn-1=-=3n-2,对n=1也满足, 所以的通项公式为an=3n-2;

(2)证明:由(1)得a1=1,an=3n-2,am=3m-2,要使a1,an,am成等比数列,需要=a1·am,

所以(3n-2)2=3m-2,整理得m=3n2-4n+2∈N*,所以对任意n>1,都有m∈N*使得=a1·am成立, 即a1,an,am成等比数列.

9 （2014·上海高考文科·Ｔ23）已知数列{an}满足an?an?1?3an,n?N*,a1?1. （2）若a2?2,a3?x,a4?9，求x的取值范围； （3）若{an}是等比数列，且am?131，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应1000{an}的公比；

（3）若a1,a2,【解题指南】

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,a100成等差数列，求数列a1,a2,,a100的公差的取值范围.

111(1)根据a2?a3?3a2,a3?a4?3a4可求得x的范围.(2)根据a1?a2?3a1可把q的范围求出，3331再根据通项将m用q表示出来，用放缩法求解.(3).根据an?an?1?3an,可得公差d的关系式，

3对n分类讨论可得.【解析】

12(1)依题意，a2?a3?3a2,??x?6;331又a3?a4?3a4,?3?x?27;综上可得；3?x?6;311(2)设公比为q,由已知得，an?qn?1,又a1?a2?3a1，??q?33311故am=qm?1=,??q?1100031333m?1?logq1000?1??1??1??1??7.281log1000qlgqlg3lg33?1117?m的最小值为8，故q?,?q?()7?107100010001+（n?2)d（3）设公差为d,由已知可得?1?(n?1)d?3(1?(n?2)d),3?(2n?1)d??2其中2?n?100,即??(2n?5)d??22令n?2得，-?d?2322当3?n?100时，不等式即d??,d??2n?12n?522?d????200?1199?2?综上，公差d的取值范围为??，2?.?199?10. （2014·山东高考理科·Ｔ19）

已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1,S2,S4成等比数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令bn?(?1)n?14n，求数列{bn}的前n项和Tn. anan?1

【解题指南】(1)先设出等差数列的首项.然后根据已知条件可列方程组求得数列?an?的

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通项公式.(2)利用裂项求和法求解，注意本题是将数列?bn?裂成两项之和，然后再分奇数和偶数来求数列?bn?的前n项和.

【解析】（I）d?2,S1?a1,S2?2a1?d,S4?4a1?6d,

2?S1,S2,S4成等比?S2?S1S4

解得a1?1,?an?2n?1 （II）bn?(?1)n?14n11?(?1)n?1(?) anan?12n?12n?1111111111当n为偶数时，Tn?(1?)?(?)?(?)????(?)?(?)335572n?32n?12n?12n?1所以Tn?1?12n? 2n?12n?1111111111当n为奇数时，Tn?(1?)?(?)?(?)????(?)?(?)335572n?32n?12n?12n?1所以Tn?1?12n?2? 2n?12n?1?2n,n为偶数??2n?1所以Tn??

?2n?2,n为奇数??2n?111. （2014·山东高考文科·Ｔ19）

在等差数列?an?中，已知d?2，a2是a1与a4等比中项. （Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）设bn?an?n?1?,记Tn??b1?b2?b3?2???1?bn，求Tn.

n【解题指南】(1)先设出等差数列的首项.然后根据已知条件可列方程组求得数列?an?的通项公式.(2)分奇数项和偶数项来讨论求数列的和.

【解析】： （Ⅰ）由题意知：

?an?为等差数列，设an?a1??n?1?d，?a2为a1与a4的等比中项

22?a2?a1?a4且a1?0，即?a1?d??a1?a1?3d?，?d?2 解得：a1?2

?an?2?(n?1)?2?2n

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