2015高三差缺补漏题（理科） - 图文(5)

试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点

N的坐标，若不存在，说明理由.

（1）解法1： ∵点P是直线y?x与抛物线C在第一象限的交点， ∴设点P(m,m)(m?0) ∵抛物线C的准线为y??pp，由|PF|?5结合抛物线的定义得m??5 ① 22又点P在抛物线C上，∴m2?2pm(m?0)?m?2p② 由①②联立解得p?2，∴所求抛物线C的方程式为x2?4y [解法2：∵点P是直线y?x与抛物线C在第一象限的交点， ∴设点P(m,m)(m?0)

∵抛物线C的焦点为F(0,2即m?(m?pp)，由|PF|?5得m2?(m?)2?5 22p2)?25① 2又点P在抛物线C上，∴m2?2pm(m?0)?m?2p② 由①②联立解得p?2，∴所求抛物线C的方程式为x?4y

（2）解法1：由抛物线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点

2N，则点N必在y轴上，设N(0,n)

2x0又设点M(x0,)，由直线l:y?kx?m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l与抛物线C4相切，由y?1211x得y'?x，∴k?y'|x?x0?x0 4222x0x?0(x?x0) ∴直线l的方程为y?422x0?2x22令y??1得x?，∴Q点的坐标为(0?,?1)，

x02x02x0x2?NM?(x0,?n),NQ?(0?,?1?n)

42x0 21

∵点N在以MQ为直径的圆上，

222x0x0x0?2?(1?n)(?n)?(1?n)?n2?n?2?0∴NM?NQ?244(*)

?1?n?0要使方程(*)对x0恒成立，必须有?2解得n?1

?n?n?2?0∴在坐标平面内存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，其坐标为(0,1) 解法2：设点M(x0,y0)，由l:y?kx?m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l与抛物线

1211x得y'?x，∴k?y'|x?x0?x0 422x∴直线l的方程为y?y0?0(x?x0) 7分

2相切，由y?令y??1得x?2(y0?1)2(y0?1)，∴Q点的坐标为(,?1) x0x0∴以MQ为直径的圆方程为：(y?y0)(y?1)?(x?x0)[x?分别令x0?2和x0??2，由点M在抛物线C上得y0?1

2(y0?1)]?0③ x0将x0,y0的值分别代入③得：(y?1)(y?1)?(x?2)x?0④

(y?1)(y?1)?(x?2)x?0⑤

④⑤联立解得??x?0,?x?0,或?

?y?1.?y??1.∴在坐标平面内若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，则点N必为(0,1)或

(0,?1)将(0,1)的坐标代入③式得，左边

=2(1?y0)?(?x0)[?2(y0?1)]?2(1?y0)?2(y0?1)?0=右边 x02(y0?1)]?2(y0?1)不恒等于0 x0将(0,?1)的坐标代入③式得，左边=(?x0)[?∴在坐标平面内是存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，点N坐标为为(0,1)

22

21. 设函数f?x???x?1?e?kx(其中k?R).

x2(1) 当k?1时,求函数f?x?的单调区间和极值；

(2) 证明：当k??0，+??时，函数f?x?在R上有且只有一个零点． 解: (1) 当k=1时, f(x)?(x?1)ex?x2,

f'(x)?ex?(x?1)ex?2x?x(ex?2).

当x变化时,f??x?,f?x?的变化如下表:

增 减

增

由表可知, f(x)的增区间(-?,0), (ln2, +?), 减区间为(0, ln2). 极大值为-1, 极小值为

?ln22?2ln2?2.

(2) f'(x)?ex?(x?1)ex?2kx?xex?2kx?x(ex?2k).

当x<1时, f(x)<0, 所以f(x)在(-?,1) 上无零点, 故只需证明f(x)在[1, +?)上有且只有一个零点.，若k?[0,], 当x?1时, f'(x)?0, f(x)在[1,+?)上单调递增,

e2f(0)??1?0,f(2)?e2?4k?e2?2e?0,

所以f(x)在[1,+?)上有且只有一个零点.

若k?(,??), 则f(x)在[1,ln2k)上单调减,在(ln2k,??)上单调增,

f(1)=-k<0, f(k?1)?kek?1?k(k?1)2?k[ek?1?(k?1)2]. 令g(t)?e?t,t?k?1?2,

t2e2g'(t)?et?2t,g''(t)?et?2,t?2,?g''(t)?0,g'(t)在[2,??)上单增,

?g'(t)?g'(2)?e2?4?0,?g(t)在[2,??)上单增. g(t)?g(2)?e2?4?0,?f(k?1)?0.

所以f(x)在[1,+?)上有且只有一个零点. 综上得:f(x)在R上有且只有一个零点.

23

22. 已知函数f(x)?ax?b?2?2a(a?0)的图像在点(1,f(1))处的切线与直线xy?2x?1平行.

（1）求a，b满足的关系式；

（2）若f(x)?2lnx在[1,+?)上恒成立，求a的取值范围； （3）证明：1?11??35?111nn2n1?)??ln((2n??1)(n)∈N*） ?（?n

2n2n?1222n??11解：（1）f?(x)?a?

b，根据题意f?(1)?a?b?2，即b?a?2. 2x（2）由（Ⅰ）知，f(x)?ax?令g(x)?f(x)?2lnx?ax?a?2?2?2a， x

a?2?2?2a?2lnx，x??1,??? x

则g(1)?0，g?(x)?a?①当0?a?1时，若1?x?a?22?=xx2a(x?1)(x?x22?a)a

2?a?1 ， a

2?a，则g'(x)?0，g(x)在[1,??)减函数，所以g(x)?g(1)?0，即af(x)?2lnx在[1,??)上恒不成立．

②a?1时，

2?a?1，当x?1时，g'(x)?0，g(x)在[1,??)增函数，又g(1)?0，a所以f(x)?2lnx．

综上所述，所求a的取值范围是[1,??).

（3）由（2）知当a?1时，f(x)?2lnx在?1,???上恒成立．取a?1得x?令x?即1?1?2lnx x2n?12n?12n?12n?1?1，n?N*得??2ln， 2n?12n?12n?12n?1222n?1?(1?)?2ln所以2n?12n?12n?1,

112n?1111?ln?(?) 2n?122n?122n?12n?1

24

上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得

1111n1???…??ln(2n?1)? 352n?122n?1

23. 已知函数f?x??lnx?x?a有且只有一个零点. （1）求a的值；

（2）若对任意的x??1,???，有2f?x??k?x?2恒成立，求实数k的最小值； x（3）设h?x??f??x?1?x，对任意x1,x2??0,????x1?x2?，证明：x1?x2h?x＞x1x2恒成立.

1??h?x2?解析：（1）f(x)的定义域为(0，??)，f?(x)?1x?1??x?1x．

由f?(x)?0，得x?1.

∵ 当0?x?1时，f?(x)?0；当x?1时，f?(x)?0，

∴ f(x)在区间(0，1]上是增函数，在区间[1，+?)上是减函数， ∴ f(x)在x?1处取得最大值．

由题意知f(1)?0?1?a?0，解得a?1．

（2）法一、由题意得

2lnx?kx?x，

x?1，故k?2xlnx?x2在x??1,???恒成立，

设

A?x??2xlnx?x2，x?1，

?k?A?x?max，

A'?x??2?lnx?1??2x?2?lnx?1?x?，

由（1）得，lnx?1?x，?A'?x??0，A?x?在?1,???单调递减， ?A?x??A?1???1，?k??1，故实数k的最小值为?1。

法二、由题意得

2lnx?kx?x，

25

不等式

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