弹性力学复习题 有答案(2)

qOOxM?qlhh2h2xqqb2b2hly

9. 已知如图所示的墙，高度为h，宽度为b，h??b，在两侧面上受到均布剪力q作用，

h??b不计体力，试用应力函数??Axy?Bx3y求解应力分量。 y 22参考答案：

（1）将应力函数代入相容方程????0，其中

?4??4??4??0，22?0，4?0 4?x?xy?y满足相容方程。

（2）应力分量表达式为

?2??2??2??x?2?0，?y?2?6Bxy，?xy????A?3Bx2

?x?y?x?y（3）考查边界条件

在主要边界x??b上，应精确满足下列边界条件： 2??x?x??b?0，??xy?x??b??q

22在次要边界y?0上，?y??y?0?0能满足，但??yx?y?0?0的条件不能精确满足，应用

圣维南原理列出积分的应力边界条件代替

????将应力分量代入边界条件，得

b2b?2yxy?0dx?0

q2qA??，B?2

2b应力分量

12qq?x2??x?0，?y?2xy，?xy??1?122?

b2?b?10. 设有矩形截面竖柱，密度为ρ ，在一边侧面上受均布剪力q，试求应力分量。提示：假

?2?设?x?0?2

?yOhxql?gy

参考答案：

?2?（1）、假设?x?0?2，由此推测?的形式为?=f1?x?y?f2?x?

?yd4f1?x?d4f2?x?（2）、代入??=0，得y+=0 44dxdx4要使上式在任意的y都成立，必须

d4f1?x?=0，得f1?x?=Ax3?Bx2?Cx?D 4dxd4f2?x?32，得=0fx=Ex?Fx?Gx?H ??14dx3232代入?，即得应力函数的解答?=Ax?Bx?Cxy?Ex?Fx（略去了x、y的一次

??项和常数项）

（3）、由?求应力分量，fx?0,fy??g

?2??x?2?0

?y?2??y?2?fyy??6Ax?2B?y?6Ex?2F??gy （1分）

?x?2??xy?????3Ax2?2Bx?C?

?x?y（4）、校核边界条件

主要边界

??x?x?0,h?0（已满足）

???xyx?0?0，C?0

?q，??3Ah2?2Bh?C??q（1）

???h0xyx?h次要边界

????yx?0dx?0，3Eh?2F?0（2）

????0hyx?0xdx?0，2Eh?F?0（3）

????0hyxy?0dx?0，Ah?B?0（4）

由（1）-（4）联立可解得 A、B、E、F。

11. 设体力为零，试用应力函数??x2?y2，求出上图所示物体的应力分量和边界上的面力，

OA?OB?1。并把面力分布绘在图上，圆弧边界AB上的面力用法线分量和切向分量表示。

yBO

12. 已知平面应力问题矩形梁，梁长L，梁高h, 已知E=200 000 Pa，?= 0.2，位移分量为：u(x,y)?6(x?0.5L)yE， v(x,y)?3(L?x)xE?3?y2E，求以下物理量在点P(x=L/2,y=h/2)的值： (1) 应变分量 (2) 应力分量， (3) 梁左端（x=0）的面力及面力向坐标原点简化的主矢和主矩。

Axh2Oh2xLy

13. 矩形长梁，l?2m，h?1m，厚度为t，弹性模量为E，泊松比??13，在右侧面作

用着均布面力q(N/m2)。其有限元网格和单元?1??2?的节点局部编号如图示，试写出单元

?2?劲度矩阵k?2?。

43jqi?2?yhl

m?1?x2?2??1?

1mij

?kii?单元劲度矩阵 k??kji?kmi?kijkjjkmjkim??kjm?， kmm??1???bb?crcs?rsEt2 krs??1??4?1??2?A??crbs?brcs?2? r?i,j,m; bi?yj?ym;?brcs?1???crbs?2?

1??crcs?brbs??2?s?i,j,m

ci?xm?xj?i,j,m?

00?2?4??012?20?230?2??0k=答案：?01??20??42?32??2?122?1?2???212??32??

2?1?7?4???413???414. 某结构的有限元计算网格如图（a）所示。网格中两种类型单元按如图（b）所示的局部

编号，它们单元劲度矩阵均为

000?0.50??0.5?0?0.250.250?0.25?0.25???00.250.250?0.25?0.25? k???

000.50?0.5??0??0.5?0.25?0.2500.750.25???0?0.25?0.25?0.50.250.75??yq1?2?h23?4??3?j6im?1?54?6?h7?8??7?l9?5?l8mjix?a??b?

试求：① 结点1、2、3的等效结点荷载列阵?FL1?、?FL2?、?FL3?; ② 整体劲度矩阵中的子矩阵?K22?，?K33?，?K45?、?K55?和?K67?。

?0??0??0???????参考答案：?FL1???ql?，?FL2???5ql?，?FL1???ql?

??????????2?66?????K22????1.50.25??0.750.25??- 1- 0.25?，，K?K?????3345??0.250.75??- 0.25- 0.5?、

0.251.5???????30.5??00?和K?K??55???67??? ??0.53??00?15. 有限单元法中选取的单元位移模式应满足什么条件? 下列位移函数

2 u?a ，?3ax v?b0?b1x?b2y?b3y2 0?a1x?a2y 能否作为三角形单元的位移模式? 简要说明理由。若能，试估算其误差等级。 提示：考察能否满足收敛性的三个条件。

16. 对于图示的四节点平面四边形单元，若取位移模式为

u?a1?a2x?a3y?a4xyv?a5?a6x?a7y?a8xy

试: ① 考察此位移模式的收敛性条件。② 估计其误差等级。③ 列出求解其系数a1~a8的方程

vpyuppbObuaaiivi提示：同上题。

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