对数函数测试题及答案(2)

20.解法一：作差法

|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=|＋x)|)

∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＜1＋x ∴上式=－

lg(1?x)lg(1?x)1|－||=(|lg(1－x)|－|lg(1lgalga|lga|112

[(lg(1－x)＋lg(1＋x)]=－·lg(1－x)[来源:Zxxk.Com] |lga||lga|2

由0＜x＜1，得，lg(1－x)＜0，∴－∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| 解法二：作商法

12

·lg(1－x)＞0， |lga||loga(1?x)|=|log(1－x)(1＋x)|

|loga(1?x)|∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＋x，∴|log(1－x)(1＋x)|=－log(1－x)(1＋x)=log(1－x)由0＜x＜1，∴1＋x＞1，0＜1－x＜1 ∴0＜(1－x)(1＋x)＜1，∴∴0＜log(1－x)

2

1 1?x1＞1－x＞0 1?x1＜log(1－x)(1－x)=1 1?x∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| 解法三：平方后比较大小

∵loga(1－x)－loga(1＋x)=[loga(1－x)＋loga(1＋x)][loga(1－x)－loga(1＋x)] =loga(1－x)·loga2

2

2

11?x1?x2

=·lg(1－x)·lg 21?x1?x|lga|2

∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1，0＜∴lg(1－x)＜0，lg

2

2

1?x＜1 1?x1?x＜0 1?x2

∴loga(1－x)＞loga(1＋x)，即|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| 解法四：分类讨论去掉绝对值

当a＞1时，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=－loga(1－x)－loga(1＋x)=－loga(1－x) ∵0＜1－x＜1＜1＋x，∴0＜1－x＜1

6

2

2

∴loga(1－x)＜0，∴－loga(1－x)＞0

当0＜a＜1时，由0＜x＜1，则有loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0

∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=|loga(1－x)＋loga(1＋x)|=loga(1－x)＞0 ∴当a＞0且a≠1时，总有|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| 21.解析：(1)定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1)

(2)设1＞x2＞x1 ∵a＞1，∴ax22

22

?ax1，于是a－ax2＜a－ax1

x则loga(a－aax2)＜loga(a－a1) 即f(x2)＜f(x1)

∴f(x)在定义域(－∞，1)上是减函数

(3)证明：令y=loga(a－a)(x＜1)，则a－a=a，x=loga(a－a) ∴f(x)=loga(a－a)(x＜1)

故f(x)的反函数是其自身，得函数f(x)=loga(a－a)(x＜1＝图象关于y=x对称． 22.

解析：根据已知条件，A、B、C三点坐标分别为(a，log2a)，(a＋1，log2(a＋1))，(a＋2，log2(a＋2))，则△ABC的面积

S=

x－1

xxyyx[log2a?log2(a?1)][log2(a?1)?log2(a?2)]??[log2a?log2(a?2)]

221a(a?2)(a?1)21(a?1)2?log2?log2 2[a(a?2)]22a(a?2)1a2?2a?111?log22?log2(1?2) 2a?2a2a?2a因为a?1,所以Smax?1114log2(1?)?log2 2323

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