容斥原理(3)

（6级）

【巩固】 如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在

外面的总面积为38．若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的公共部分为3．求A与C公共部分的面积是多少？（6级）

BCA

模块四、容斥原理在数论问题中的应用

【例 24】 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？（4级）

AB

【巩固】 在自然数1~100中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？（4级）

【巩固】 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？（4级）

【例 25】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?（4级）

【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．（4级）

【例 26】 以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？（8级）

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【巩固】 分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.（8级）

【例 27】 (2008年西城实验考题)在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共

有 个．（6级）

【例 28】 在从1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个？（6级）

【例 29】 50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报

数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?（6级）

【例 30】 有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3，…，2000，然后

将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？（6级）

【巩固】写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次

把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？（6级）

【例 31】 在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：

（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔；

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（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；

（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖； （4）其他标签号均奖1支铅笔．

那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?（8级）

【例 32】 在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；

第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成________段．（6级）

【例 33】 (2008年101中学考题)一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，

第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出 段．（8级）

【巩固】 一根1.8米长的木棍，从左端开始每隔2厘米画一个刻度，涂完后再从左端开始每隔3厘米画一个

刻度，再从左端每隔5厘米画一个刻度，再从左端每隔7厘米画一个刻度，涂过按刻度把木棍截断，

一共可以截成多少段小木棍？（8级）

模块五、容斥原理中的最值问题

【例 34】 将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个

圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？（8级）

【例 35】 如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在

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