2010高考数学考点解析：三角问题的题型与方法(7)

由PA = PB = PC = 2a，知O为△ABC的外心． ∵ AB = AC = a ，

∴ O落在底面ABC的高AD上． 设∠ABC = θ，连结BO， 则BO为△ABC外接圆的半径． 记BO = R，由正弦定理，有R?12a2sin?2 ，

PO?PB2?BO2?a16sin??1sin?2

∵ BD = a cosθ，AD = a sin

S?ABC?12BC?AD?asin?cos?．

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V?13?asin?cos??212a16sin??1sin?22

?16a3?16sin22??11?sin?

????16a317?225?2 ?16?sin????32?64?17322∴当sin2??时，Vmax?516a．

34a．

3此时，BC?2BD?2acos??2a1?sin2??在研究利用三角公式解决一些有关三角形中的三角函数问题时．常用的公式有： （1）在△ABC中，A + B + C = π，

cos?A?B???cosC，sinA?B2C2??2?C2，sin?A?B??sinC，

?cotC2A?B2??cos，tanA?B2 ．

（2）正余弦定理及其变式：

如a = 2R sinA ，b+ c－a=2b c cosA ． 射影定理：a = b cosC + c cosB ． （3）三角形面积公式：

S??P?P?a??P?b??P?c??Pr?abc4R122

2

2

（其中P?(a?b?c)，r为三角形内切圆

半径）．

18、解：由已知条件得

?2R?2?sin2A?sin2B?2RsinB2??2a?b．

?即有 a2?c2?又 cosC?∴ c??4a22ab?b，

2?b?c1222ab?22

24ab?24?4RsinAsinB

2 ．∴ S?222absinC???R?cos?A?B??cos?2A?B???22R2?2?cos?2???A?B??? ． ??所以当A = B时，Smax?2?12R．

说明：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质．

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