D8习题课高数

习题课 空间解析几何一、 内容小结 二、实例分析

第八章 八

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一、内容小结1. 空间直线与平面的方程 空间平面 一般式 点法式 截距式

x y z + + =1 a b cx x1 x2 x1 x3 x1

点: (x0 , y0 , z0 ) 法向量: n = ( A, B, C)

三点式

y y1 z z1 y2 y1 z2 z1 = 0 y3 y1 z3 z1机动 目录 上页 下页 返回 结束

空间直线1 1 1 一般式 A x + B y + C1z + D = 0 A x + B y + C z + D = 0 2 2 2 2

对称式

x = x0 + mt 参数式 y = y0 + nt z = z0 + p t (x0 , y0 , z0 ) 为直线上一点;

s = ( m, n, p ) 为直线的方向向量.机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.线面之间的相互关系 . 面与面的关系 平面 平面 Π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, n2 = ( A2 , B2 , C2 ) 垂直: 平行: n1 ×n2 = 0

n1 n2 夹角公式: cosθ = n1 n2

A A2 + B1B2 + C1C2 = 0 1 A B1 C1 1 = = A2 B2 C2

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线与线的关系

x 直线 L1: x1 = y y1 = z z1 , s = (m , n , p ) 1 1 1 1 m1 n1 p1 x x2 y y2 z z2 = = , s2 = (m2 , n2 , p2 ) 直线 L2: m2 n2 p2垂直: 平行: s1 ×s2 = 0

s1 s2 夹角公式: cosθ = s1 s2

m m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 1 m1 n1 p1 = = m 2 n 2 p2

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面与线间的关系 平面: Ax + By + Cz + D = 0, n = ( A, B, C)

x x y y z z 直线: = = , s = (m, n, p) m n p m n p = = 垂直：s ×n = 0 A B C 平行： s n = 0

s n 夹角公式： sin = s n

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3. 相关的几个问题 (1) 过直线

A x + B1 y + C1z + D = 0 1 L: 1 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 的平面束 方程 λ1( A x + B1 y + C1z + D1) 1 + λ2 ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0

( λ 1 , λ 2 不全为0 )

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(2)点 M0 (x0 , y0 , z0 ) 到平面 Π :A x+B y+C z+D = 0 的距离为

M0d

r nΠ

M1

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(3) 点

到直线

M0 (x0 , y0 , z0 )的距离为 d

M0M1 × s d= s

s = (m, n, p) M1(x1, y1, z1)i j k x1 x0 y1 y0 z1 z0

=

1 m2 + n2 + p2

m

n

p

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二、实例分析例1. 求与两平面 x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交线 平行, 且 过点 (–3 , 2 , 5) 的直线方程. 提示: 提示 所求直线的方向向量可取为

s = n1 × n2利用点向式可得方程

= ( 4, 3, 1)

x + 3 y 2 z 5 = = 4 3 1机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 求直线

与平面

=t的交点 . 提示: 提示: 化直线方程为参数方程

代入平面方程得 t = 1 从而确定交点为(1,2,2).机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线 垂直相交的直线方程. 提示: 提示 先求二直线交点 P. 过已知点且垂直于已知直线 的平面的法向量为 故其方程为 ①

化已知直线方程为参数方程, 代入 ①式, 可得交点(2,1,3)

最后利用两点式得所求直线方程 x 2 y 1 z 3 = = 2 1 4机动 目录

P

(3,2, 1) ( 1,1,0)

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例4. 求直线 上的投影直线方程.

在平面

提示： 提示：过已知直线的平面束方程

x + y z 1+ λ (x y + z +1) = 0即 从中选择 λ 使其与已知平面垂直： 得 λ = 1, 从而得投影直线方程 这是投影平面 y z 1 = 0 x + y + z = 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2x z = 0 例5. 设一平面平行于已知直线 x + y z + 5 = 0 且垂直于已知平面 7x y + 4z 3 = 0, 求该平面法线的 的方向余弦. 提示: 提示 已知平面的法向量 n1 = (7, 1, 4) 求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量

所求为

i j k n = s × n1 = 1 1 2 = 2(3, 5, 4) 7 1 4 3 5 4 cosα = , cos β = , cosγ = 51 50 50机动 目录 上页 下页 返回 结束

x + 5y + z = 0 且与平面 例6. 求过直线L: x 4 y 8z x z +4=0 π v +12 = 0 夹成 角的平面方程.提示: 提示 过直线 L 的平面束方程 其法向量为 n1 = { + λ , 5, 1 λ}. 1 已知平面的法向量为 n = { , 4, 8} 1

r4 n n1

n n1 选择 λ 使 cos = 4 n n1从而得所求平面方程

π

3 λ = 4 x + 20 y + 7z 12 = 0.机动 目录 上页 下页 返回 结束

例7. 求过点

且与两直线 都相交的直线 L.L2

提示: 提示 思路: 先求交点 M1 , M2 ; 再写直线方程. 的方程化为参数方程

L 1 M1

M0

M2

L

设 L 与它们的交点分别为

M1(t1 , 2t1 , t1 1),

M2 (t2 , 3t2 4, 2t2 1) .机动 目录 上页 下页 返回 结束

M0 , M1 , M2 三点共线

M0M1 // M0M2

t1 = 0, t2 = 2

L 1

L2

M0

M1 = (0, 0, 1) , M2 = (2, 2, 3) M1 L x 1 y 1 z 1 L: = = 1 1 2

M2

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例8.直线 转曲面的方程. 提示: 提示 在 L 上任取一点

绕 z 轴旋转一周, 求此旋转

旋转轨迹上任一点, 则有

=zx2 + y2

zrM

LrM0

得旋转曲面方程

o x

x2 + y2 z2 = 1

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思考与练习P51 题21 画出下列各曲面所围图形: x y z 2 (1) 抛物柱面2y = x, 平面 z = 0及 + + = 1; 4 2 22 2 2

(2) 抛物柱面 x2 = 1 z, 平面 y = 0, z = 0 及 x + y = 1;

(4) 旋转抛物面 x + y = z, 柱面 y = x, 平面 z = 0

及 x = 1.

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解答: 解答 P51 题21(1)

z2

2 y2 = x x y z + + =1 4 2 2 z =0 (8, 2, 0)zo

o

x

4

(2,1, 0)

y

x

y

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z 1

P51 21 (2)

1 1 x

o1y

x =1 z y =0 z =0 x + y =12

1

z 1

1 x

1

y

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