【人教A版数学】2012版大一轮复习-1.1 集合的概念及其基本运算

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第一章

集合与常用逻辑用语

§1.1 集合的概念及其基本运算 基础知识 自主学习要点梳理 1.集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、 无序性 . 集合元素的三个特征： 集合元素的三个特征 (2)元素与集合的关系是 属于 或 不属于关系，用符号 关系， 元素与集合的关系是 ∈ 表示. 或 表示.

区间法 . 图示法 、 描述法 、 (3)集合的表示法： 集合的表示法： 集合的表示法 列举法 、

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(4)常用数集：自然数集 N;正整数集 N*(或 N+);整数 常用数集： 常用数集 ； 或 ； 集 Z;有理数集 Q;实数集 R. ; ; (5)集合的分类： 按集合中元素个数划分，集合可以分 集合的分类： 按集合中元素个数划分， 集合的分类 为 有限集 、 无限集 、 空集 .

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2.集合间的基本关系 . (1)子集、真子集及其性质 子集、 子集 对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A B(或 B A). ∈ , ∈ , 或 . 若 A B,且在 B 中至少有一个元素 x∈B,但 x A, , ∈ , , 或 . 则 A ? B (或 B ? A ). ;A A;A B,B C A C. ; , 个元素， 若 A 含有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个，A 的非 空子集有2n-1 个，A 的非空真子集有 2n-2

个.

(2)集合相等 集合相等 若 A B 且 B A,则 A=B . ,

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3.集合的运算及其性质 . (1)集合的并、交、补运算 集合的并、 集合的并 并集： ∪ = 并集：A∪B={x|x∈A,或 x∈B}; ∈ , ∈ ; 交集： ∩ = 交集：A∩B= {x|x∈A,且 x∈B} ; 补集： 补集： UA= {x|x∈U,且 x A} = (2)集合的运算性质 集合的运算性质并集的性质： 并集的性质：

.

U 为全集， UA 表示 A 相对于全集 U 的补集. 为全集， 的补集.

A∪ =A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A B A. 交集的性质： 交集的性质：

A∩ = ;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A A B. 补集的性质： 补集的性质：

A∪( UA)=U;A∩( UA)= ; U( UA)=A.

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[难点正本 疑点清源 难点正本 疑点清源] 1.正确理解集合的概念 . 正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征， 正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤 其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用. 其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用.在解决含参数 问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性” 问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而 导致结论错误. 导致结论错误. 2.注意空集的特殊性 . 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集.在解题 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集

. 若未明确说明集合非空时， 时 ， 若未明确说明集合非空时 ，要考虑到集合为空集的可能 例如： , 性.例如：A B,则需考虑 A= 和 A≠ 两种可能的情况. = ≠ 两种可能的情况. 3.正确区分 ,{0},{ } .正确区分 , 是含有一个元素 是不含任何元素的集合，即空集.{0}是含有一个元素 0 的集 是不含任何元素的集合，即空集. 是含有一个 合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是 0.{ }是含有 它不是空集，因为它有一个元素， 是含有 一个元素 的集合. , { , 一个元素 的集合. {0}, }, ∈{ },{0}∩{ }= . , ∩ =

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基础自测 1. . 已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7}, ={2,4,5}, ={1,3,5,7}, A= B= = , , , 则 A∩( UB)=________. ∩ = {2,4}

解析 UB={2,4,6},A∩( UB)={2,4}. = , ∩ = .

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2. .(2010·江苏 设集合 A={-1,1,3}, ={a+2, 2+4}, 江苏)设集合 = - B= + ,a 江苏 ， , A∩B={3},则实数 a 的值为 ∩ = , 的值为________. . 1解析 义. 当 a+2=3,即 a=1 时，B={3,5},此时 A∩B={3}. + = , = = , ∩ = . 故 a=1. = =-1 因为 A∩B={3},当 a2+4=3 时，a2=- 无意 ∩ = , =

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3.已知集合 A={-1,0,4},集合 B={x|x2 . =- , , = -2x-3≤0,x∈N},全集为 U,则图中 - ≤ , ∈ , , 阴影部分表示的集合是 A.{4} . C.{4,5} . ( B ) B.{4,- . ,- ,-1} D.{-1,0} .-

解析 由题可知集合 B={0,1,2,3}, = , 阴影部分表示由属于 集合 A 但不属于集合 B 的元素组成的集合， 的元素组成的集合， 则阴影部分 表示的集合为{- 表示的集合为 -1,4}.故选 B. .

点评 从图形中读懂集合间的关系是解决本题的关键.

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4.已知 . 等于

2 x| <1 ,N={y|y= M= x = = =

x-1},则 N∩( RM) - , ∩ ( B ) B.[0,2] . D.[1,2] .

A.(1,2) . C. .解析 因为 [0,2]. . 2 x| <1 ={x|x>2 M= x =

或 x<0},所以 RM= ,所以 =

[0,2],又 N={y|y= x-1}=[0,+ ,故 N∩( RM)= , ,+∞), = = - = ,+ =

易误警示 求解集合 M、N 时易错.

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题型分类题型一 集合的基本概念 例 1

深度剖析

定义集合运算： ⊙ = = 定义集合运算：A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A, + , ∈ ,

y∈B},设集合 A={0,1},B={2,3},则集合 A⊙B 的 ∈ , = , = , ⊙ 所有元素之和为________. . 所有元素之和为 思维启迪 集合 A⊙B 的元素：z=xy(x+y).求出 z 的 ⊙ 的元素： = + . 所有值，再求其和. 所有值，再求其和.解

析 这里给出了一个新的符号 A⊙B,实质上它就是 ⊙ ,

一个集合，其中的元素 z=xy(x+y),其中 x∈A={0,1}, 一个集合， = + , ∈ = , y∈B={2,3}.可利用集合描述法中元素 z 的性质，简单 ∈ = 的性质， . 的分类讨论， 的所有可能的取值即可求得答案. 的分类讨论，求出 z 的所有可能的取值即可求得答案.

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当 x=0 时，z=0;当 x=1,y=2 时，z=6;当 x=1, = = ; = , = = ; = , y=3 时，z=12. = = 故集合 A⊙B 中的元素有如下 3 个：0,6,12. ⊙ 所有元素之和为 18.答案 18探究提高 理解集合和集合元素的特征属性， 是解决本 理解集合和集合元素的特征属性，

题的关键. 的值时， 题的关键.在确定 z 的值时，要根据 x,y 的不同取值分 类讨论，体现了分类讨论的思想方法. 类讨论，体现了分类讨论的思想方法.

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变式训练 1 设

b a, ,1 ={a2, +b,0}, ,a a, ∈R, b∈ , a+ , 集合 ,

的值为________. 则 a2 011+b2 012 的值为 -1 .b 解析 由于 a≠0,则a=0,∴b=0. ≠ , , = =-1. , ≠ , =- ∴a2=1,又 a≠1,∴a=- 故 a2 011+b2 012=- =-1.

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题型二 集合与集合的基本关系 例2 已知集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 B= = + ≤ , = 1 x|- <x≤2 . -2 ≤

(1)若 A B,求实数 a 的取值范围； 若 , 的取值范围； (2)若 B A,求实数 a 的取值范围； 若 , 的取值范围； (3)A、B 能否相等？若能，求出 a 的值；若不能，试 、 能否相等？若能， 的值；若不能， 说明理由. 说明理由. 思维启迪 在确定集合 A 时，需对 x 的系数 a 进行讨利用数轴分析，使问题得到解决. 论.利用数轴分析，使问题得到解决.

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解

A 中不等式的解集应分三种情况讨论： 中不等式的解集应分三种情况讨论：

①若 a=0,则 A=R; = , = ; ②若 a<0,则 ， ③若 a>0,则 ， 4 1 x| ≤x<- ; A= a -a = 1 4 x|- <x≤ . A= -a ≤a =

(1)当 a=0 时，若 A B,此种情况不存在. 当 = ,此种情况不存在. 当 a<0 时，若 A B,如图， ,如图，

1 4 - a>-2 则 -1≤2 a

- a<-8 , ∴ - 1 ,∴a<-8. ≤ a≤-2

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当 a>0 时，若 A B,如图， ,如图，

1 1 -a≥-2 则 4≤2 a

a≥2 a≥ ,∴ a≥2 ≥

.∴a≥2. ∴ ≥

综上知， 综上知，当 A B 时，a<-8 或 a≥2. - ≥

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(2)当 a=0 时，显然 B A;当 a<0 时，若 B A,如图， 当 = ; ,如图，

1 4 ≥ a≥-8 a≤-2 则 , ∴ 1 . 1

- a>-2 - >2 a 1 ; ,如图， ∴-2<a<0;当 a>0 时，若 B A,如图，

1 1 - a≤ - 2 则 4≥2 a

a≤2 ≤ , ∴ a≤2 ≤

.∴0<a≤2. ∴ ≤

1 综上知， 综上知，当 B A 时，-2<a≤2. ≤

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(3)当且仅当 A、B 两个集合互相包含时，A=B. 当且仅当 、 两个集合互相包含时， = 由(1)、(2)知，a=2. 、 知 =探究提高 在解决两个数集关系问题时， 避免出错的一 在解决两个数集关系问题时，

个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外， 个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在 解含有参数的不等式( 或方程 ) 时 ， 要对参数进行讨 解含有参数的不等式 ( 论.分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每 分类时要遵循“不重不漏”的分类原则， 一类情况都要给出问题的解答. 一类情况都要给出问题的解答. 分类讨论的一般步骤： 确定标准； 恰当分类； 分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐 类讨论；④归纳结论. 类讨论； 归纳结论.

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变式训练 2 设 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x = = , = + +a2-1=0}, = , (1)若 B A,求 a 的值； 若 , 的值； (2)若 A B,求 a 的值. 若 , 的值.解 (1)A={0,- , = ,- ,-4}, ①当 B= 时， =4(a+1)2-4(a2-1)=8(a+1)<0, = = + = + , 解得 a<-1; - ; 为单元素集时， =- =-1, 符合题意； ②当 B 为单元素集时，a=- ,此时 B={0}符合题意； = 符合题意 由根与系数的关系得： ③当 B=A 时，由根与系数的关系得： = -2(a+1)=- ( + )=-4 2 ,解得 a=1. = a -1=0 = 综上可知： ≤ 综上可知：a≤-1 或 a=1. = (2)若 A B,必有 A=B,由(1)知 a=1. 若 , = , 知 =

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题型三 集合的基本运算 例 3 若集合 A={x|x2-2x-8<0},B={x|x-m<0}. = - , = - . (1)若 m=3,全集 U=A∪B,试求 A∩( UB); 若 = , = ∪ , ∩ ; (2)若 A∩B= ,求实数 m 的取值范围； 若 ∩ = 的取值范围； (3)若 A∩B=A,求实数 m 的取值范围. 若 ∩ = , 的取值范围. 思维启迪解

(1)分别求出集合 A、B,利用数轴分析. 分别求出集合 、 ,利用数轴分析.

(2)A∩B=A 转化为 A B. ∩ = (1)由 x2-2x-8<0,得-2<x<4, 由 - , , ∴A={x|-2<x<4}. = - . 当 m=3 时，由 x-m<0,得 x<3, = - , , ∴B={x|x<3}, = , = ≤ . ∴U=A∪B={x|x<4}, UB={x|3≤x<4}. = ∪ = , ∴A∩( UB)={x|3≤x<4}. ∩ = ≤ .

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(2)∵A={x|-2<x<4},B={x|x<m}, ∵ = - , = , 又 A∩B= ,∴m≤-2. ∩ = ≤ (3)∵A={x|-2<x<4}

,B={x|x<m}, ∵ = - , = , 由 A∩B=A,得 A B,∴m≥4. ∩ = , , ≥探究提高 集合的基本运算包括交集、并集和补集.在 集合的基本运算包括交集、并集和补集.

图进行分析， 解题时要注意借助数轴或 Venn 图进行分析，并注意运 用补集的思想方法. 用补集的思想方法.

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重庆)设 = 变式训练 3 (2010·重庆 设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x2 重庆 ， = ∈ +mx=0},若 UA={1,2},则实数 m=________. = , = , = -3解析 ∵ UA={1,2}, A={0,3},∴0,3 是方程 x2+mx = ,∴ = , 的两根， =-3. =0 的两根，∴m=- =-

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