3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式(1)

3.1.3二倍角的正弦、余 弦、正切公式高一数学 必修 4 第三章 三角恒等变换

一、复习:两角和的正弦、余弦、正切公式:sin sin cos cos sin

cos cos cos sin sin tan tan tan 1 tan tan 若上述公式中 ，

你能否对它进行变形？

R 二 sin 2 2 sin cos 倍 R cos 2 cos 2 sin 2 角 公 2 tan k k Z k , tan 2 ,且 2 式： 2 2 4 1 tan

对于 C 2 能否有其它表示形式？

cos 2 2 cos 12

cos 2 1 2 sin 2

公式中的角是否为任意角？

注意：①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二 倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数 之间的互化问题。 ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如 4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍， α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。 因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就 是β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用二 倍角公式。 ③二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角 相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。

5 例1 已知 sin 2 , ( , ),求 sin 4 , 13 4 2 cos 4 , tan 4 的值。

例2

求下列各式的值： 2

π 2π (1) sin 22.5 cos 22.5 , (2) cos sin 8 8 2 tan 15 2 (3) , ( 4 ) 1 2 sin 75 1 tan 2 15

(5)8sin cos cos cos 48 48 24 12

(6) cos 20 cos 40 cos 80

练习

化简： (1)sin cos 4 43 1 tan 2 (3) 3 tan 22

4 (2)sin cos 2 24

(4) sin(

4

) cos(

4

)

5 (5) cos cos 12 12

(6)cos36 cos 72

引申：公式变形：

1 sin 2 (sin cos )

2

1 cos 2 2 cos 2

1 cos 2 2 sin 2

升幂降角公式

1 cos 2 cos 2 1 cos 2 2 sin 22

降幂升角公式

练习 化简下列各式(1) 1 sin 40 ; (2) 1 sin 40 ; (3) 1 cos 20 ; (4) 1 cos 20

变式：如何化简 2 sin 2 2 cos 4呢？

4 例4. 在△ABC中, cos A , tan B 2, 5 求 tan( 2A 2B)的值.

练习1 1. 已知sin cos ,0 π, 3 求 sin 2 , cos 2 .1π π 已知sin 2 , ,求 cos sin 4 4 2

1 2.已知 tan ,求 sin 2 cos 2 2

思考1:

3 等腰三角形ABC的底角的余弦值是 ，那么 5 顶角的正弦值是多少？(如图)解：C

sin C sin[ ( A B)] sin( A B) sin 2 A sin (A A)

2 sin A cos AA B

思考2:

求值:

cos 80 sin 50 sin190 cos3202 2

课堂小结

1、二倍角正弦、余弦、正切公式的推导 sin 2 2 sin cos Rcos 2 cos 2 sin 2

2 tan k k Z tan 2 ,且 k , 2 2 1 tan 2 4

R

2、注意正 用 、逆用、变形用

cos 2 2 cos 1 1 2sin 2 cos 2 sin 2 2

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