大学毕业论文——微分中值定理应用初探(9)

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整理得，x1ex2 x2ex1 (1 )e (x1 x2) #

3.4 证明中值点的存在性 例7.设函数f(x)在[0，

11

]上二阶可导，且f(0) f'(0),f() 0 22

13f'( )

求证：至少存在一点 (0,)，使得f"( ) 。

21 2

分析：结论可写为 f"( )(1 2 ) 2f'( ) f'( )

x

f"(x)(1 2x) 2f'(x) f'(x)

即 [f'(x)(1 2x)]' f'(x) f'(x)(1 2x) f(x) c 令 c 0，移项得 f'(x)(1 2x) f(x) 0 取 F(x) f'(x)(1 2x) f(x)

证明： 作辅助函数 F(x) f'(x)(1 2x) f(x) 易见，由题设可知 F(x)在[0，

11

]上连续，在（0，）内可导，且 22

F(0) f'(0)(1 0) f(0) 0

1111

F() f'()(1 2 ) f() 0 2222

1

于是，F(x)在[0，]上满足罗尔定理

2

1

，使得 F'( ) 0 至少存在一点 （0，）2

即 f"( )(1 2 ) 3f'( ) 0

例8.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求证： 至少存在一点 (a,b)，使得 分析：令

bf(b) af(a)

f( ) f'( )

b a

bf(b) af(a)

k，则 bf(b) kb af(a) ka

b a

可见，这是一个对称式（a与b互换，等式不变），故取

F(x) xf(x) kx

证明：取辅助函数 F(x) xf(x)

bf(b) af(a)

x

b a

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