中国矿业大学2011级第一学期期中考试高数答案

一、1．1 2. 4 3.(-1)n·(2/3)n·(1/3)·n! 4.y 2x 1 0 5.

2xsin2x cos2x

x

2

二、1. C 2. D 3. B 4. y=e x 5. C （选择填空均每题3分） 三、1. （10分） 求x 0(

解：原式=lim

x 0

lim

11 x). sinxe 1

ex-1-sinx sinx(e-1)

x

= lim

x 0

ex-1-sinx

x2ex-cosx ex sinx1

=lim =lim =

x 0x 022x2

或者：原式=lim

x 0

ex-cosx cosx(ex-1) sinx ex

=lim

x 0

ex sinx

-sinx(ex-1) 2cosx ex sinx ex

=

1

2

x arctgtdyd2y

,2 2.（10分）.设 ,求2

y ln(1 t)dxdx

ddy2t

(2t)2

dy2dy2解 2t 2 2(1 t2)

dxdx

dt1 t2dt1 t2

3.（10

分）求函数f(x) (2x [ 1,2]上的最大值和最小值。 解 f (x)

10x 1 ，得驻点x 1和不可导点x 0。 4分 3x

23

由 f(1) 3,f(0) 0,f( 1) 7,f(2) 2， 3分

比较可得 最大值为f(0) 0，最小值为f( 1) 7. 3分 4.（10分）设y y(x)由2y3 2y2 2xy x2 1确定，求y y(x)的驻点，

并判断它是否为极值点。

解：6y y 4y y 2y 2xy 2x 0，令y 0得y x

32

代入方程：2x x 1 0，得唯一驻点： x = 1 5分

2

12y (y )2 6y2 y 4(y )2 4y y 4y 2xy 2 0

1

0，故x = 1为极小点。 5分

y 12

x

5.（10分）设常数k 0，判断方程lnx k 0在(0, )内实根的个数，并说明理由。

e11x

解 设f(x) lnx k，f (x) ，当x e时，f (x) 0，f(x)单调减少；

xee

当0 x e时，f (x) 0，f(x)单调增加； 5分

lnx1k

f(x) limf(x) limx( ) ， 又 f(e) k 0，lim，

x x x 0 xex

所以，方程在(0,e)和(e, )内分别有且仅有一个实根。 5分

所以，y x 1

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