湖南省湖南师大附中、长沙市一中等六校2014届高三下学期4月联考(4)

湖南省湖南师大附中、长沙市一中等六校2014届高三下学期4月联考试题 数学理 Word版含答案

20．（本小题满分13分）

有一海湾，海岸线近似为椭圆的一段弧NM，M、N为椭圆弧上两点，且MA⊥AB，NB

⊥AB，AB间的距离为2公里，椭圆焦点为A、B

公里，在A、B处分别有甲、乙两个化工厂，AB的中点为O．准备在海岸线上建一度假村P，不考虑风向等因素影响，化工厂对度假村废气污染程度与排出废气的浓度成正比（比例系数都为正常数m），与距离的平方成反比（比例系数都为正常数n），又知化工厂甲排出的废气浓度是化工厂乙的8倍，已知化工厂乙排出的废气浓度为d（d为常数，0<d<1），设度假树P距离甲化工厂x公里，度假村P受到甲、乙两化工厂的污染程度之和记为f（x）． （1）求f（x）的表达式并求定义域；

（2）度假村P距离甲化工厂多少时，甲、乙两化工厂对度假村的废气污染程度和最小？

21．（本小题满分13分）

x2y2

已知椭圆E：2 2 1（a>b>0）的两个焦点与一个顶点组成一个直角三角形的三个

ab

顶点，且椭圆E过点M（2

），O为坐标原点．

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，

uuruuur

B，且OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程，并求该切线在y轴上截距的取值范围及|

AB|的取值范围；若不存在，说明理由． 22．（本小题满分13分） 已知函数f（x）=

x(1 a1nx)

(x 1)．

x 1

（1）若g（x）=（x-l）2f′（x）在（1，+ ）是增函数，求实数a的取值范围； （2）当a=1时，若f（x）>n恒成立，求满足条件的正整数n的最大值；

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