2011年四川大学硕士研究生考试-高等代数(2)

2011年四川大学硕士研究生考试-高等代数

矩阵可以分成几类？

五、设V 是数域上的n 维线性空间，F ()End V 是上的全体线性变换组成的线性空间

V 1、求()dim End V 及()End V 的一个基；

2、设()A End V ∈且的特征多项式为A ()f x

（1）证明：如果V 可分解为非平凡的-不变子空间的直和，则A ()f x 在可约；

F （2）上述命题的逆命题成立与否，说明理由。

六、设V 是维欧氏空间，内积为n (),

1、若是V 中一个线性无关组，证明：V 中存在两两正交的使 (1i i s α≤≤)()1i i s β≤≤对任意1，有与k s ≤≤()1i i k α≤≤()1i i k β≤≤等价；

2、设，证明：(1i V i t γ∈≤≤))(1i i t γ≤≤线性无关的充要条件是()(()()1111

,,,,t t t )t γγγγγγγ??????????L M L M

L γ是正定矩阵。

七、设()2,A B M ∈ （二阶实方阵），0AB BA +=且22

A B E ==（单位矩阵），证明： 存在可逆矩阵使()2T M ∈ 11001T AT ???=?????（可能是）且

。 11001TAT ???=????

?10110T BT ???=????

八、求矩阵X 使。 4300031000X ????=??????

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