学案11 §1.4
曲边梯形的面积
一、知识目标
1.通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤：
分割、近似代替、求和、求极限；
2通过求曲边梯形的面积、变速运动中的路程，初步了解定积分产生的背景． 二、知识链接
1、直边图形的面积公式：三角形 2、匀速直线运动的时间（t）、速度（v）与路程（S）的关系 ． 三、自主探究索
1、概念：如图，由直线x=a , x= b , x轴，曲线y=f (x)所围成的 图形称为 ．
2、思考：如何求上述图形的面积？它与直边图形的主要区别是 什么？能否将求这个图形的面积转化为求直边图形的面积问题？
四、例题精析
2
例１、求由抛物线y=x与x轴及x=1所围成的平面图形的面积S． 【分析】：我们发现曲边图形与“直边图形”的主要区别是，曲边图形有一边是 线段，而“直边图形”的所有边都是 线段。我们可以采用“以直代曲，逼近”的思想得到解决问题的思路：将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”面积的问题． 解：（1）分割（化整为零） 将区间 0,1 等分成n个小区间 0,
1 12
，, ， 则第i个小 n nn
区间为 （i=1，2， ，n），第n个小区间为 ， 每个区间的长度为 x= = ，过各个区间端点作
x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作 S1, S2, Sn．显然，S= ．
（2）近似代替 （以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形） 对区间
i 1i
, 上的小曲边梯形，以区间左端点对应的函数值 nn
i 1
以 x= 为邻边的长的小矩形f 为一边的长，
n
的面积近似代替小曲边梯形的面积，即 Si f(（3）求和（积零为整，给出“整”的近似值）
i 1n
) x （i=1，2， ，n）．
因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积之和就是所求曲
n
边三角形面积S的近似值：S S1 S2 Sn Si
i 1
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