2012年第1期
投资组合风险测度———基于FIGARCH-EVT-Copula方法
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建模基本思路如下：首先，基于修正的R/S，GPH（罗登跃，王玉华，2005）[16]检验投资组合中单资产收益率波动的长记忆性，如果具有长记忆性，就用
（二）极值理论（EVT）
一元极值分布理论包括BMM（BlockMaxima
Model）和POT（PeaksOverThreshold），前者主要是
对组最大值建模，需要采用大量的数据；后者则是对观察值中所有超过某一较大阈值的数据建模，能有效地使用有限的极端观察值，因此通常被认为在实践中是最有用的。本文采用POT进行建模。
基于EVT建模时，必须要求收益率序列是独立同分布的。首先采用FIGARCH模型对收益率序列建模，提取标准化的残差zt。假设F（z）为Z（zt所对应的随机变量）的分布函数，u为阈值，z-u表示超额值，其超额分布函数记为
FIGARCH建模，否则就用一般的GARCH建模，提
取标准化残差；接着，基于EVT对标准化残差的尾部分布建模。其次，寻找最优的Copula模型刻画边缘分布间的相依结构；然后，采用MontCarlo方法模拟投资组合的收益率序列，计算投资组合的VaR和ES。最后，基于Kupiec检验法检验模型预测效果，并与不考虑长记忆性的GARCH-EVT-Copula模型预测效果进行比较研究。
二、测度模型
（一）FIGARCH模型
金融时间序列的一个显著特点是存在条件异方差，Engle于1982年提出自回归条件异方差（ARCH）模型来刻画时间序列的条件二阶矩，并通过条件异方差的变化来刻画波动的时变性及聚集性。Bollerslev将ARCH进行扩展，提出了广义
Fu（y）=P（Z-u≤y｜Z>u）＝（）（）
1-F（u）
（3）
对于条件超额分布函数Fu（y），存在一个广义
pareto分布函数GDPξ，β（y）使得Fu（y）≈GDPξ，β（y），
即对于充分大的阈值u，超额值的分布函数可以用广义Pareto分布（GPD）近似。即
＝＝＝＝＝＝≠＝＝＝＝＝＝
ARCH模型，即GARCH
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
GDPξ，β（y）＝
1-（1+ξy）
-1/ξ
ξ≠0
（4）
rt=μt+εt
·）εt=σtzt，zt~i.i.F（
q
1-exp（-y）
ξ＝0
（1）
2
其中，ξ是形状参数；β是尺度参数；ξ＞0表示是厚尾的，当ξ＜0时，0≤x≤-β/ξ。
阈值u的确定是GPD估计的关键，常用的有平均超额函数法（MeanExcessFunction，MEF）和Hill图法两种方法。
由于下跌风险普遍受关注，所以本文只考虑下尾阈值。将基于阈值u的zt的分布定义为
σt＝w+Σαiεt-iβiσt-i
i=1
22
其中，p≥0；q≥0；w≥0；αi≥0（i=1，2，…，q）；βi≥0（i=1，2，…，p）。
式（1）称为GARCH（p，q）模型。均值项μt一般用自回归移动平均过程ARMA模型进行拟合，滞后阶数一般根据自相关图和偏自相关图以及AIC、SC等确定。不同的zt分布F（·）可以得到不同的
GARCH模型，常见的有标准正态分布N（0，1）、t分
布、广义误差分布（GED）。
如果式（1）中条件方差σt2由模型式（2）表示
P（z）
-1/ξFξ，β（z）=
1-nu（1+ξz-u）
nβ
≠
＝＝＝≠＝＝＝＝
z<uz≥u
（5）
其中，P（z）是经验分布函数（也可以用其他分布来描述，因为极值理论关心的是尾部数据的拟合，所以对中间数据的分布拟合没有任何要求）。
（三）Copula函数
σt2＝w+β（L）σt2-[1-β（L）-覬（L）（1-L）d]εt2（2）
那么，式（1）就称为FIGARCH（p，d，q），其中，L是滞后算子；覬（L）和β（L）称为滞后算子多项式；
p
q
Copula函数能够很好地拟合变量之间复杂的
非线性相关性，并且不依赖于边际分布，在现代风险管理领域中得到了越来越多的应用。常见的
覬（L）＝1-Σ覬jLj；β（L）＝1-ΣβjLj；d是分数协整阶数
j=1
j=1
Copula函数有GaussianCopula、t-Copula、Clayton
2t
（0≤d≤1）。Baillie等人指出，当0<d<1时，ε的分数差分形式（1-L）dεt2服从ARMA过程，此时覬（L）和β（L）的系数能捕捉波动的短期记忆，分数系数d能反映波动的长期记忆性；当d=0时，FIGARCH模型就变为GARCH模型；当d=1时，FIGARCH就变为IGARCH模型。
Copula、GumbelCopula、FrankCopula等。GaussianCopula、t-Copula和FrankCopula函数分布可以用
来描述变量间对称的相关模式，但t-Copula函数分布更强调尾部相关性；Clayton和GumbelCopula函数可以用来描述变量间非对称的相关模式，不同的是，前者更强调下尾的相关性，而后者更强调上尾
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