第五章 二次根式

第五章 二次根式 5.1 二次根式

5.1.1二次根式的概念及性质

教学内容： 二次根式的概念及其运用

教学目标： 理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键： 1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：

问题1：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，甲这次射击的方差是S，那么S=_________． 老师点评： 由方差的概念得S= 二、探索新知

很明显3、10、2

4. 64，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我6”称为二次们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）?的式子叫做二次根式，“根号．

（学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0，a有意义吗？ 老师点评:（略）

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、-2、1、x（x>0）、0、42、x1、x?y（x≥0，y?≥0）． x?y”；第二，被开方数是正数或0．

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ 解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、x?y（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：33、

105

141、2、． xx?y 例2．当x是多少时，3x?1在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?3x?1才能有意义．

解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥

1 31时，3x?1在实数范围内有意义． 3 三、巩固练习 P157 练习1、 四、应用拓展

例3．当x是多少时，2x?3+ 分析：要使2x?3+0．

1在实数范围内有意义？ x?111在实数范围内有意义，必须同时满足2x?3中的≥0和中的x+1≠x?1x?1?2x?3?0解：依题意，得?

x?1?0? 由①得：x≥-

3 2 由②得：x≠-1 当x≥-

31且x≠-1时，2x?3+在实数范围内有意义． 2x?1例4(1)已知y=2?x+x?2+5，求

x的值．(答案:2) y2004

(2)若a?1+b?1=0，求a

+b

2004

的值．(答案:

2) 5 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业 1．P159 习题5.1 A组1 2．选用课时作业设计．

第一课时作业设计

一、选择题

1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A．-7 B．37 C．x D．x

2

106

2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A．4 B．16 C．8 D．

3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 B．5 C． 二、填空题

1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题

1 x1 D．以上皆不对 5 1．某工厂要制作一批体积为1m的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，?底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 2．当x是多少时，

3

2x?32

+x在实数范围内有意义？ x 3．若3?x+x?3有意义，则x?2=_______．

24.使式子?(x?5)有意义的未知数x有（ ）个． A．0 B．1 C．2 D．无数

5.已知a、b为实数，且a?5+210?2a=b+4，求a、b的值．

5.1.2二次根式的化简（1）

教学内容 1．a（a≥0）是一个非负数； 2．（a）=a（a≥0）．

2

教学目标

理解a（a≥0）是一个非负数和（a）=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．

2

通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．

2

教学重难点关键

1．重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）=a（a≥0）及其运用．

2

2．难点、关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；?用探究的方法导出（a）=a

2

（a≥0）． 教学过程

一、复习引入 （学生活动）口答

107

1．什么叫二次根式？ 2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？ 二、探究新知

议一议：（学生分组讨论，提问解答） a（a≥0）是一个什么数呢？ 老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

a（a≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空：

（4）=_______；（2）=_______；（9）=______；（3）=_______；

2

2

2

2

（12722

）=______；（）=_______；（0）=_______． 32 老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）=4．

2

同理可得：（2）=2，（9）=9，（3）=3，（2

2

2

121727）=，（）=，

3232（0）=0，所以 （a）=a（a≥0） 2

2 例1 计算 1．（325272 2

） 2．（35） 3．（） 4．（）2622

分析：我们可以直接利用（a）=a（a≥0）的结论解题．

解：（3232222

） =， （35） =3·（5）=3·5=45，

2252572(7)27?． （）=， （）=262624三、巩固练习 P157 练习 2、 计算下列各式的值： （18） ；（2

2272922

） ；（） ； （0） ；（4） ；(35)2?(53)2

438 四、应用拓展 例2 计算

108

1．（x?1）（x≥0）2．（a2） 3．（a2?2a?1） 4．（4x2?122

2

2

x9?）2

所以上面的4题都可以运用（a）=a（a≥0）的重要结论解题．

2

解：（1）因为x≥0，所以x+1>0 （x?1）=x+1

2

（2）∵a≥0，∴（a2）=a

2

2

2

2

2

（3）∵a+2a+1=（a+1） 又∵（a+1）≥0，∴a+2a+1≥0 ，∴a2?2a?1=a+2a+1

2

2

2

（4）∵4x-12x+9=（2x）-2·2x·3+3=（2x-3） 又∵（2x-3）≥0

∴4x-12x+9≥0，∴（4x2?12x?9）=4x-12x+9

2

2

2

2222 2

例3在实数范围内分解下列因式: （1）x-3 （2）x-4 (3) 2x-3 五、归纳小结 本节课应掌握：

1．a（a≥0）是一个非负数； 2．（a）=a（a≥0）;反之:a=（a）（a≥0）．

2

2

242

六、布置作业 1．P 159 习题5.1 A组 2、 2．选用课时作业设计． 第二课时作业设计 一、选择题

1．下列各式中15、3a、

b2?1、a2?b2、m2?20、?144，二次根式的个数是（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1

2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0 二、填空题

1．（-3）=________． 2．已知x?1有意义，那么是一个_______数．

2

三、综合提高题

1．计算 （1）（9） （2）-（3） （3）（

2

2

126）2 （4）（-322

） 3 (5) (23?32)(23?32) 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）

y

1 （4）x（x≥0） 63．已知x?y?1+x?3=0，求x的值．

4．在实数范围内分解下列因式: （1）x-2 （2）x-9 3x-5

2

4

2

109

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