03级高等数学下学期期中试题

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03级高等数学下学期期中试题

一、单选择（每小题4分，共16分）

?241．将数坐标下的二次积分I = 则 I = [ ] （A）?dx?011?xx2??d??02sin?f(?cos?,?sin?)?d?化为直角坐标下的二次积分，

f(x,y)dy (B)

?0dx?1?1y1x1?x2f(x,y)dy

（C）?dy?012y?yy??2f(x,y)dx (D)

?0dy?0f(x,y)dx??1dy?022y?y2f(x,y)dx

解：积分区域D = ?(?,4)x4???,0???2sin?? 2?x= (x,y)0?x?1,x?y?1?1?x2 = ?(x,y)0?x?y,0?y?1??x,y0?x?故选D。

2．将直角坐标的三次积分

dy?2f(x,y,z)dZDI = ?dx?220x?y?1?x11?x2???22y?y,1?y?2

?1xy??(x,y)0?x?11?x2?y?1?x2?

=?(?,4)???x2?????,0???1? 2?

化为柱面坐标下的三次积分，则I = [ ] （A）?x2?x2x2d??d??001?2f(?cos?,?sin4,Z)?dZ

（B）?1d??dZx0?2?0Zf(?cos?,?sin4,Z)?d?

11d?d?f(?cos?,?sin?,Z)?dZ （C）???200??感谢朱卫明同学帮我编辑这份word文稿！！！ http://math.seu.edu.cn/resume/zhangxiaoxiang/index.htm 2

（D）?11d??dZ?f(?cos?,?sin?,Z)?d? x00?2x2解：积分区域??(x,y,Z)0?x?1,?1?x2?y???x2x2x2x2??Z?1?

??1?x,x?y222?Z?1

?=?(?,?,Z)??????,0???1,?2=?(?,?,Z)?故选B

???,0???x2,0????Z,0?Z?1?

?3．设∑为曲面x2+y2+z2=a2 (z≤0)取上侧，则当f(x,y,z)为下述哪个函数时，曲面积分??f(x,y,z)dy?dz?0,

?f(x,y,z) = [ ] (A)exsinZ (B)x3y2Z (C)xy2cos(1+Z2) (D)x4+y2

解：∑在向yaz平面内投影时要分成前后两个部分：∑前、∑后，它们在yoz平面内的投影区域相同，都是?yz,(如图)，关于Z轴对称，因此??f(x,y,z)dy?dz

?=

??Dyzf(a?y?z,y,z)dydz?222??Dyzf(?a?y?z,y,z)dydz

222若被积函数是关于x的偶函数，则上式=0，选项D符合要求。

4.下列结论正确的是： （A）若limUn?1Un?n???1,则?Un发散

n?1??(B)若?(U2n?1?U2n)收敛，则?Un收敛

n?1n?1?(C)若Un+1=cosUn(n=1,2,…)则?Un收敛

n?1(D)若limUn?1Un?n???1,则?Un收敛

n?1解：若limUn?1Unn???1,则limUn?1Unn???1，故从某一项起|Un|↗，因而limUn?0

n???所以?Un发散，因此A为正确选项。

n?1?对于B，可举反例?(?1),

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对于C，因为U3=cosU3, ?[-1，1]，所以1≥U3≥cosU3，

?于是cosUn≥cos1>0, ?n=3，4，… 故limUn?0，因而?Un发散

n??n?1?对于D，可举反例?(?1)n。

n?1二、填空题（每小题4分，共20分）

1.若e–(1+i)= 0，则Im(z)= 解：（1+i）= ei故：Z=??4i

(ln(1+i)

Z

I

= e?i?ln?2?i(???2kx)?4?=e??4?2k??iln2=e??4?2k??i(ln?2?2k?)

?2k??i(ln2?2k?)，因而，Im(Z) = lnn2?2k?,k?Z。

2．设L |Z| = 2取逆时针方向，则?1Z(Z?1)142dZZ(Z?1)2L=

解：在L所围区域内，有两个孤立奇点，Z=0 和Z=1

分别以这两个点为圆心，为半径作两个小圆，L1，L2，取道时计方向，

dZZ(Z?1)2?i1!1Z?11z22由复合闭路定理得?dZZ(Z?1)dZ2L??L1??dZZ(Z?1)2L2

由高阶导数公式得：?L1Z(Z?1)dZ2?()?Z?0??2?i，

由Cauchy积分公式得：?LZ(Z?1)2?2?i.()Z?1?2?i。

故原式=?2?i?2xi?0

3.旋转抛物面Z=x2+y2，在0≤Z≤1那部分曲面的面各S =

22解：曲面?z?x?y(0≤z≤1,x≥0,y≥0)在xoy平面内的投影区域D为：?(??4)0??????,0???1? 2?1222由对称性可知S?4??dA?4??1?4x?4ydxdy?4?2d??1?4??d?

0?D0????4011?4?d(1?4?)?22?63(1?4?2)210??6(55?1)。

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??x?ayy4．若向量?A?,22?(x?y)(x?y)??(x?y?0)为某函数u(x,y)的梯度，则a = . ?y(x?y)2解：由题设可知ux?x?ay(x?y)2,uy?，

于是uxy?故a=2.

(a?2)x?(a?2a)y(x?y)3,uyx??2y(x?y)3在x?y?0的点处连续，因为Uxy=Uyx

?x2?y2?z2?15.设L：?，其线密度μ=1，则L关于Z轴的转动愤量Iz=

?x?y?z?0解：Iz??(x?y)ds?L2223?(x?y?z)ds?L22223?ds?L43?.

轮换对称线

三、（8分）已知u?v?ex(cosy?siny)?x?y，求解析和数f(8)?u?iv(单独和Z表示)

x??ux?vx?e(cosy?siny)?1解：? x??uy?vy?e(?siny?cosy)?1由ux?vy,uyx?u?u?e(cosy?siny)?1y?x??2x，代入上式得：? x??uy?ux?e(?siny?cosy)?1x?① ?ux?ecosy从而得? xu??esiny?1② ??y由①得u??exxcosydx?ecosy??(y),

xx代入②得?esiny??(y)?esiny?1 因而??(y)??1，即?(y)??y?c (C为常数) 故u?ecosy?y?c, 进而得v?esiny?x?c 于是f(z)?ecosy?y?c?i(esiny?x?c) =e(cosy?isiny)?i(x?iy)?ic?e?i(z?c)

四、（8分）计算二重积分I?xzxxxx??(dx?y2?x)dxdy，其中D=(x,y)2y?x2?y2?4

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解：由于区域D关于y轴对称，故??x?dxdy?0,I??d3x?ydxdy。

22d记D1:x2?y2?2y; D2:x2?y2?4 则I???d2x?ydxdy?22??d1x?ydxdy

22其中I1???d12x?ydxdy?22?0xd??22sin?0?.?d??8??30sin?d??3329

I2???d1x?ydxdy?163216d??.?d??? ?0?032?故I?I2?I1?

??329

五、计算下列曲线积分 1．（7分）I?向。

解：（法一）取∑为L所圈平面，由stokas公式得：

dy?dzI?dz?dxdx?dy??x2?y2?1，其中L：从Z轴正向看去逆时针方(x?y)dx?(x?y)dy?(z?y)dz?Lx?y?z?2??????xx?y??yk?y???zz?y?1?3????dy??dz

∑上侧的单位法向量为n??,?13,1??， 3?由两类曲面积分之间的关系可得：I?

???dy?dz?????13dA???

（法二）设L在xoy面上投影曲线为Г，由z=z-x+y得dz=-dxx+dy， 故I?=I????(x?y)dx?(x?y)dy?(2?x)(?dx?dy)

?(2x?y?2)dx?(2?y)dy Green 公式

2

2

???dxdyDxy???

其中：Dxy:x+y≤1

?x?cost?(法三)：L的参数方程为?y?sintt从0到2π

?z?2?cost?sint?

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