1空间平行关系

１、异面直线、空间中的平行关系

一、基础知识

1．平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过______________的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有________过该点的公共直线．

公理4：平行于______________的两条直线互相平行． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类

?

?共面直线??

?? ?

?异面直线：不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．

②范围：______________.

3．直线与平面的位置关系有________、______、________三种情况． 4．平面与平面的位置关系有______、______两种情况． 5．等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________． 6．平行关系

7．与垂直相关的平行的判定：

(1)a⊥α，b⊥α?________；(2)a⊥α，a⊥β?________.

二、基础检测

1．若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是( ) A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．平行、相交或异面

2．如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )

3．下列命题：

①空间不同三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；

⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行； ⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是________．(填序号)

4．下列各命题中：

1

①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行； ③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交； ④垂直于同一直线的两个平面平行．不正确的命题个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4

5．在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________________.

三、典型例题

类型一 异面直线所成的角

例1 已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为( )

3573A. B. C. D. 4444

变式迁移1、在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝3，且AD⊥BC，对角线133

BD＝，AC＝，求AC和BD所成的角．

22

例2 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.

(1)求四棱锥的体积； (2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．

变式迁移2．(2009·四川)如图所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．

类型二 平行关系 C1 例3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，

A1 AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．

( 1 ) 求证：AC⊥BC1；(2) 求证：AC1∥平面CDB1；

C (3) 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值． A

变式迁移3 如图，线段AB、CD所在直线是异面直线，E、F、G、H分别是线段AC、CB、BD、DA的中点。

（1） 求证：E、F、G、H共面并且所在的平面平行于直线AB和CD （2） 设P、Q分别是AB和CD上任意一点，求证PQ被平面EFGH平分

B1

B

D

2

四、课堂练习 1、如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,

点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为__________.

2．如图,正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中

D1C1A1DA P?B1BEC点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_____(写出所有正确命题的编号).

11时,S为四边形;②当CQ?时,S为等腰梯2231形;③当CQ?时,S与C1D1的交点R满足C1R1?;④当

43①当0?CQ?63. ?CQ?1时,S为六边形;⑤当CQ?1时,S的面积为243、（1）已知异面直线a,b所成的角为700，则过空间一定点O，与两条异面直线a,b都成600角的直线有( )条

A．1 B．2 C．3 D．4

（2）异面直线a,b所成的角为?,空间中有一定点O，过点O有3条直线与a,b所成角都是60，则?的取值可能是（ ）

0A．30 B．50 C．60 D．90

0000P

4、如图，已知平面α∥平面β，线段PQ、PF、QC分别交平面α于A、B、C、点，交平面β于D、F、E点，PA＝9，AD＝12，DQ＝16，△ABC的面积是72，试求△DEFα A B 的面积． C β D 5下列命题中真命题的个数为( ) E

F ①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α； ②若直线a在平面α外，则a∥α；

Q

③若直线a∥b，直线b?α，则a∥α；

④若直线a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线． A.1 B．2 C．3 D．4 6、在空间中，下列命题正确的是( ) A.若a∥α，b∥a，则b∥α

B.若a∥α，b∥α，a?β，b?β，则β∥α C.若α∥β，b∥α，则b∥β D.若α∥β，a?α，则a∥β

7、设l1、l2是两条直线，α、β是两个平面，A为一点，有下列四个命题，其中正确命题的

3

个数是( )

①若l1?α，l2∩α＝A，则l1与l2必为异面直线； ②若l1∥α，l2∥l1，则l2∥α；

③若l1?α，l2?β，l1∥β，l2∥α，则α∥β； ④若α⊥β，l1?α，则l1⊥β. A.0 B．1 C．2 D．3

8、若直线a，b为异面直线，则分别经过直线a，b的平面中，相互平行的有( ) A.1对 B．2对 C.无数对 D．1或2对

9、下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．

,

10、过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的有______条． 11.

如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1

a

的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在

3

CD上，则PQ＝________. 12．

如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点．

求证：MN∥平面AA1C1C.

13． (2010·湖南改编)

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． 在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

4

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