统计学导论第二版习题详解(2)

2014年11月06日修改

累计频数分布示意图6050403020100775825875925975102510751125 （4）曲线图说明居民月人均可支配收入分布，呈现钟型分布的特点。

五、案例分析

收集有关统计数据，对我国近年来居民收入分配的状况进行统计分析。 答：略

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第三章 数据分布特征的描述

一、单项选择题

1. 由变量数列计算加权算术平均数时，直接体现权数的实质的是（ D ）。

A 总体单位数的多少 B 各组单位数的多少 C各组变量值的大小 D各组频率的大小 2. 若你正在筹划一次聚会，想知道该准备多少瓶饮料，你最希望得到所有客人需要饮料数量的（ A ）。 A 均值 B中位数 C众数 D四分位数

3．2004年某地区甲、乙两类职工的月平均收入分别为1060和3350元，标准差分别为230和680元，则职工平均收入的代表性（ B ）。

A甲类较大 B 乙类较大 C两类相同 D 在两类之间缺乏可比性

4．假如学生测验成绩记录为优、良、及格和不及格，为了说明全班同学测验成绩的水平高低，其集中趋势的测度（ B ）。

A可以采用算术平均数 B 可以采用众数或中位数 C只能采用众数 D 只能采用四分位数 5．一组数据呈现微偏分布，且知其均值为510，中位数为516，则可推算出众数为( A )。 A 528 B 526 C 513 D 512

6．当分布曲线的峰度系数小于0时，该分布曲线称为（ C ）。 A 正态曲线 B尖顶曲线 C平顶曲线 D. U型曲线

二、判断分析题

1.有人调查了456位足球运动员某年的收入，发现他们的年收入以24.7万元为分布中心，但超过24.7万元的只有121人。试问，这里的24.7万元指的是哪一种集中趋势指标？你认为球员收入分布呈什么形状？为什么？

答：均值。呈右偏分布。由于存在极大值，使均值高于中位数和众数，而只有较少的数据高于均值。 2.任意一个变量数列都可以计算其算术平均数、中位数和众数，并用以衡量变量的集中趋势吗？ 答：不是。每个变量数列都可以计算其算术平均数和中位数，但众数的计算和应用是有前提条件的，存在极端值时，用算术平均数测度数据的集中趋势也有局限性。

3．设一组数据的均值为100，标准差系数为10%，四阶中心矩为34800，是否可认为该组数据的分布为正态分布？

答：峰度系数K?m4?4?3?34800?3?0.48，属于尖顶分布。

(100?10%)44.某段时间内三类股票投资基金的年平均收益和标准差数据如下表：

股票类别 A B C 平均收益率（％） 标准差（％） 5.63 6.94 8.23 2.71 4.65 9.07 根据上表中平均收益和标准差的信息可以得出什么结论？假如你是一个稳健型的投资者，你倾向于购买哪一类投资基金？为什么？

答：高收益往往伴随着高风险。稳健型的投资者应倾向于购买A类投资基金，因为其标准差最小，也就是风险最小。

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5.一般说来，一个城市的住房价格是高度偏态分布的，为了了解房屋价格变化的走势，应该选择住房价格的平均数还是中位数？如果为了确定交易税率，估计相应税收总额，又应该做何种选择？

答：为了了解房屋价格变化的走势，宜选择住房价格的中位数来观察，因为均值受极端值影响；如果为了确定交易税率，估计相应税收总额，应利用均值，因为均值才能推算总体有关的总量。

6.某企业员工的月薪在1000到4000元之间。现董事会决定给企业全体员工加薪。如果给每个员工增加200元，则：

（1）全体员工薪金的均值、中位数和众数将分别增加多少？

（2）用极差、四分位差、平均差和方差、标准差分别来衡量员工薪金的差异程度，加薪前后各个变异指标的数值会有什么变化？

（3）加薪前后员工薪金分布的偏度和峰度会有无变化？

（4）如果每个员工加薪的幅度是各自薪金的5％，则上述三个问题的答案又有什么不同？

答：（1）都是增加200元。（2）都不变。（3）均无变化。

（4）如果每个员工加薪的幅度是各自薪金的5％，则均值、中位数和众数都将增加5％；极差、四分位差、平均差和标准差也会相应增加5％，方差将增加10.25％；偏度和峰度都不变。

三、计算题

1.某公司下属两个企业生产同一种产品，其产量和成本资料如下：

甲企业 乙企业 基期 单位成本（元） 600 700 1200 1800 600 700 报告期 产量（吨） 单位成本（元） 产量（吨） 2400 1600 试分别计算报告期和基期该公司生产这种产品的总平均成本，并从上述数据说明总平均成本变化的原因。

解：基期总平均成本＝

600?1200?700?1800＝660（元/吨）

1200?1800600?2400?700?1600＝640（元/吨）

2400?1600报告期总平均成本＝

总平均成本下降的原因是该公司产品的生产结构发生了变化，即成本较低的甲企业产量占比上升，而成本较高的乙企业产量占比相应下降所致。

2．设某校某专业的学生分为甲、乙两个班，各班学生的数学成绩如下： 甲60,79,48,76,67,58,65,78,64,75,76,78,84,48,25,90,98,70,77,78,68,74,95,85,68,80,92, 91,74,62,72,90,94,76,83,92,85,94,83,77,82,84,60,60,51,60,78,78,80,70,93,84,81,81,82, 班 88,73,65,72,74,99,69,72,74,85,67,33,94,57,60,61,78,83,66,77,82,94,55,76,75,80,61 乙班 85,78,80,72,64,41,75,78,61,42,53,92,75,81,81,62,88,79,98,95,60,71,99,53,54,90,60,93 要求：

(1)分别计算描述两个班成绩分布特征的各种统计指标，并进行比较分析； (2)分别绘制两个班成绩分布的箱线图。

解：利用EXCEL的“描述统计”可得两个班及全体学生的成绩分布特征的各种统计指标如下表（注：其中方差、标准差、峰度和偏度都是样本统计量）。

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平均 中位数 众数 标准差 方差 峰度 偏度 区域 最小值 最大值 求和 观测数 甲班 74.5 78 乙班 78.5 60 全部 76.5 78 72.704 76.018 74.391 14.681 14.257 14.496 215.53 203.25 210.13 1.6636 -0.305 -0.83 74 25 99 3926 54 -0.59 58 41 99 4257 56 0.685 -0.699 74 25 99 8183 110 3. 根据第2小题的数据，试求该专业全部学生的总平均成绩和方差，并利用本题数据验证：分组条件下，总体平均数与各组平均数的关系，以及总体方差与各组方差、组间方差的关系。

解：根据总体方差的计算公式?2?i?12（xi?x）?nn可得：

?2甲?11423.259311178.9821?211.5418；?2乙??199.6247 5456全部学生成绩的方差?2全部?k22904.193?208.2199

110?2?i?1k??inii?12??ni211.5418?54?199.6247?56?205.4749

110??B2i?12?(xi?x)niki?1?nik(72.7037?74.3909)2?54?(76.0179?74.3909)2?56=2.745 ?110总体方差（208.2199）＝组内方差平均数（205.4749）+组间方差（2.745）

4. 根据第2小题的数据，分别编制两个班成绩的组距数列（组距为10），然后由组距数列计算反映数据分布特征的各个指标，并观察与第2题所得到的计算结果是否相同？为什么？

解：两个班成绩的组距数列如下表所示：

成绩 40以下 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90以上 合计

甲班人数（人） 乙班人数（人） 2 2 3 13 19 8 7 54 9

0 2 4 9 14 15 12 56 2014年11月06日修改

由上述组距数列计算的主要分布特征指标如下表所示：

甲班 乙班 平均成绩 72.963 77.857 方差 207.614 186.895 标准差 14.409 13.671 与第2题所得到的两个班的平均数都不相同，这是因为由组距数列计算时，用组中值代替组平均数，假定组内变量值均匀分布或对称分布，与实际分布情况有出入，所以计算结果是近似值。方差和标准差也与第2~3题所得到的计算结果不相同，这主要是因为由组距数列计算时，用组中值代替组内各变量值，忽略了组内差异，只考虑了组间差异；此外第2题利用EXCEL的“描述统计”得到的方差、标准差是样本统计量，与总体方差、标准差的计算公式有差异。

5.某商贸公司从产地收购一批水果，分等级的收购价格和收购金额如下表，试求这批水果的平均收购价格。

水果等级 甲 乙 丙 合计 解： X?收购总额?收购总量i?1收购单价 （元/千克） 2.00 1.60 1.30 —— 收购额 （元） 12700 16640 8320 37660 ?(Xifi)kk(Xifi)i?1Xi??12700?16640?8320 ?1.6268（元）12700166408320??2.001.601.306.某中学校正在准备给一年级新生定制校服。男生校服分小号、中号和大号三种规格，分别适合于身高在160 cm以下、160～168cm之间和168cm以上的男生。已知一年级新生中有1200名男生，估计他们身高的平均数为164cm，标准差为4cm。试由此粗略估算三种规格男生校服应该分别准备多少套（按每人1套计算）？

解：身高分布通常为钟形分布，按经验法则近似估计结果如下：

规格 小号 中号 大号 合计

7.平均数和方差一般只能对数值型变量进行计算。但若将是非变量（也称为是非标志）的两种情况分别用1和0来表示，则对是非变量也可以计算其平均数和对应的方差、标准差。试写出有关计算公式。

解：用1代表“是”(即具有某种特征)，0代表“非”（即不具有某种特征）。设总次数为N，1出现次数为N1，频率（N1/N）记为P。由加权公式来不难得出：是非变量的均值=P；方差=P(1-P)；标准差=P(1?P)。

身高 分布范围 比重 数量（套） 160以下 160-168 均值±1*标准差 168以上 —— —— 0.1585 190.2≈191 0.6830 819.6≈820 0.1585 190.2≈191 1.0000 1202 10

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