苏教版（理）[步步高]2014届高三数学大一轮复习讲义Word版题库9.

直线与圆、圆与圆的位置关系

一、填空题

1．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为________．

解析 集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0,0)到直线x＋y＝1的距12

离d＝＝＜1＝r，所以直线与圆相交，故A∩B的元素个数有2个．

22

答案 2

2．圆C1：x2＋y2＋2x＝0，圆C2：x2＋y2＋4y＝0，则两圆的位置关系是________． 解析 圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：x2＋(y＋2)2＝22， 所以C1C2＝5，且2－1＜5＜2＋1，所以两圆相交． 答案 相交

3．若直线2x－y＋a＝0与圆(x－1)2＋y2＝1有公共点，则实数a的取值范围是________．

解析 若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有解得－2－5≤a≤－2＋5. 答案 [－2－5，－2＋5]

4．与圆x2＋y2＝25外切于点P(4,3)，且半径为1的圆的方程是________． 解析 设所求圆的圆心为C(m，n)，则O，P，C三点共线，且OC＝6， 24?2?18?2424318?

x－y－????＝1. 所以m＝×6＝，n＝×6＝，所以圆的方程是＋

555555????24?2?18?2?

x－y－?＋??＝1 答案 ?

5??5??

5．过点A(2,4)向圆x2＋y2＝4所引切线的方程为________． 解析 显然x＝2为所求切线之一．另设直线方程为y－4＝k(x－2)，

|a＋2|

≤1， 5

即kx－y＋4－2k＝0，那么

|4－2k|3

＝2，k＝，即3x－4y＋10＝0. 2

4k＋1

答案 x＝2或3x－4y＋10＝0

6．台风中心从A地以每小时20 km的速度，向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险地区，城市B在A地正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为________． 答案 1 h

7．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为________．

解析 由题意，得直线2(x＋1)－y＋λ＝0，即2x－y＋2＋λ＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，所以答案 －3或7

8．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离C1C2＝________.

解析 设与两坐标轴都相切的圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，将点(4,1)代入得a－10a＋17＝0，解得a＝5±22，设C1(5－22，5－22)， 则C2(5＋22，5＋22)，则C1C2＝32＋32＝8. 答案 8

9．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．

解析 切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得， |3－0＋1|

圆心(3,0)到直线的距离为d＝＝22，圆的半径为1，

2故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7. 答案

7

2

|λ－2|

＝5，λ－2＝±5，所以λ＝－3或λ＝7. 5

10．已知圆x2＋y2＝m与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0相交，则实数m的取值范围为________．

解析 (x＋3)2＋(y－4)2＝36，由题意，得|6－m|＜5＜6＋m， 解得1＜m＜11，所以1＜m＜121.

答案 1＜m＜121

11．若直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长11

为4，则＋的最小值是________．

ab解析 圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4，

∵弦长为4，故为直径，即直线过圆心(－1,2)，∴a＋b＝1，

11?11?ba1

∴＋＝?＋?(a＋b)＝2＋＋≥2＋21＝4，当且仅当a＝b＝时，取等号，ab?ab?ab211

∴＋的最小值为4.

ab答案 4

12．圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0恰有三条公11

切线，若a，b∈R且ab≠0，则2＋2的最小值为________．

ab解析 由题意，两圆外切，所以|C1C2|＝r1＋r2，即

2

－2a2

＋b2＝3，也即4a2

11?1?b24a2?1122?

＋b＝9，所以2＋2＝(4a＋b)?2＋2?＝?5＋2＋2?≥×(5＋4)＝1，当且

ab?9ab9?ab?9?

1

1

b24a2

仅当2＝2，即b2＝2a2时等号成立．

ab答案 1

13．已知集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤1}，B＝{(x，y)|x2＋y2≤r2，r＞0}，若点(x，y)∈A是点(x，y)∈B的必要条件，则r的最大值是________． 解析 由题意得B?A，所以r的最大值即为原点到直线x＋y＝1的距离

d＝

12＝. 22

2

答案

2

二、解答题(每小题15分，共45分)

14．已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切；

(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程． 解析 将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则

此圆的圆心为(0,4)，半径为2. (1)若直线l与圆C相切， |4＋2a|3则有＝2.解得a＝－. 4a2＋1

(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，

??

得?CD＋DA＝AC＝2，

1?DA＝AB＝2.?2

CD＝

2

2

2

2

|4＋2a|

，2

a＋1

解得a＝－7或a＝－1.

故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.

15．求过两圆x2＋y2＋4x＋y＝－1，x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程．

22

?x＋y＋4x＋y＝－1， ①

解析 由?2

2

?x＋y＋2x＋2y＋1＝0， ②

1

①－②得2x－y＝0代入①得x1＝－、x2＝－1，

52??1

∴两圆两个交点为?－，－?、(－1，－2)．

5??5

2??1

过两交点圆中，以?－，－?、(－1，－2)为端点的线段为直径的圆，面积最小．

5??56??3

∴该圆圆心为?－，－?半径为

5??5

?1?2?2?

?－＋1?＋?－＋2?2?5??5?25

＝，

253?2?6?24?x＋y＋?＋??＝. 圆方程为?

5??5?5?

16．如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相交于点(0,1)且被x轴分成的两段圆弧长之比为1∶2，过点H(0，t)的直线l与圆C相交于M、N两点，且以MN

为直径的圆恰好经过坐标原点O.

(1)求圆C的方程；

(2)当t＝1时，求出直线l的方程； (3)求直线OM的斜率k的取值范围．

解析 (1)因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)， 所以圆心C在直线y＝1上． 设圆C与x轴的交点分别为A、B.

由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，得∠ACB＝所以CA＝CB＝2.

圆心C的坐标为(－2,1)，

所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝4.

(2)当t＝1时，由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝mx＋1.

2π. 3

?y＝mx＋1，由?2

＋?x＋

y－

2

＝4，

?x＝0，

得??y＝1

－4??x＝m＋1，或?

m－4m＋1y＝.?m＋1?

22

2

2

?－4m－4m＋1?

，?，N(0,1)． 不妨令M?2

m2＋1??m＋1

因为以MN为直径的圆恰好经过O(0,0)，

2

－4m－4m＋1?m2－4m＋1?→→，?·(0,1)＝所以OM·ON＝?2＝0，解得m＝2±3.

m2＋1?m2＋1?m＋1

所以所求直线l方程为y＝(2＋3)x＋1或y＝(2－3)x＋1. (3)设直线MO的方程为y＝kx. |－2k－1|3

由题意，知≤2，解得k≤. 2

41＋k

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