泛函分析中的定理

第四章 习题课

基本内容

1．线性有界泛函

f:D?X??满足f(?x??y)??f(x)??f(y)，线性． 若?x?D，|f(x)|?M||x||．——称f有界． 2．线性有界泛函的范数 ||f||?supx??|f(x)|． ||x||||x||?1 ||f||?sup|f(x)|?sup|f(x)|．

||x||?1共轭空间（Banach空间）(Rn)*?Rn，(lp)*?lq，(Lp[a,b])*?Lq，H*?H． 基本定理：

①延括定理：G?X是线性子空间，f:G?X??是线性有界泛函，则?F?X*，使（ⅰ）当x?G时，F(x)?f(x)； （ⅱ）||F||X?||f||G． ②两个推论：

?x0?X，x0??，||f||?1， （Ⅰ）（Hahn—Banach定理）设Xl.n.s，则?f?X*，f(x0)?||x0||．

（Ⅱ）设Xl.n.s，G?X是线性子空间，x0?X，d(x0,G)?0，则?f?X*，满足（ⅰ）?x?G，f(x)?0；

（ⅱ）f(x0)?d； （ⅲ）||f||?1． 3．线性有界算子

X1，X2——l.n.s，D?X1线性子空间，T:D?X2满足 T(?x??y)??T(x)??T(y)．

4．线性有界算子，算子范数． 5．基本定理

引理：（开映射原理）：若X1，X2是Banach空间，T?B(X1?X2)，且

R(T)?X2，则T为开映射．

① 逆算子定理：设X1，X2都是Banach空间，T:X1?X2满射，可逆的线

性有界算子，则T的逆算子T?1是有界算子．

② 闭图像定理：设X1，X2都是Banach空间，T:D(T)?X1?X2是闭算子，

其中D(T)是X1的闭子空间，则T是线性有界算子．

③ 共鸣定理：设X1是Banach空间，X2是l.n.s.{Xi|i?A}是一族X1?X2的线性有界算子，则

{||Ti|||i?A}有界??x?X1，{||Tix|||i?A}有界．

6．强收敛与弱收敛

① l.n.s中的点列的强、弱收敛．

（ⅰ）若||xn?x||?0，称{xn}强收敛于x，记为xn?x； （ⅱ）若?f?X，|f(xn)?f(x)|?0，称xn?x（弱收敛）． ② 有限维空间中，强弱收敛等价． ③ 弱收敛的判别（等价条件）

xn?x?（ⅰ）{||Xn||}有界；（ⅱ）?M*?X*（稠密），使?f?M*，

|f(xn)?f(x0)|?0．

***④ 算子列的各种收敛性：

（ⅰ）一致收敛：||Tn?T||?0； （ⅱ）强收敛：||Tnx?Tx||?0；

（ⅲ）弱收敛：||f(Tnx)?f(Tx)||?0，?f?X2*，x?X1． 特别泛函列fn：

（ⅰ）强收敛：||fn?f||?0（对应一致收敛）；

（ⅱ）弱*收敛：||fn(x)?f(x)||?0（对应算子列强收敛）．

7．共轭算子

设X1，X2是同一数域?上的l.n.s.T?B(X1?X2)， T*:X2*?X1*，如果对任何x?X1，f?X2*，都有

(T*f)(x)?f(Tx) 或 (x,T*f)?(Tx,f)

成立，就称T*是T的共轭算子（也称伴随算子）．

共轭算子的范数：

定理（共轭算子的范数）：设T?B(X1?X2)，T*是T的共轭算子，则T*是

X2*?X1*的线性有界算子，且有

** T X1 X1 T * X2 X2

||T*||?||T||．

定理（共轭算子的性质）： （1）(aT)*?aT*； （2）(T2?T1)*?T1*?T2*； （3）(T1?T2)*?T1*?T2*；

（4）I:X1?X2,则I*:X1*?X2*． 8．自共轭算子

H是Hilbert空间，若?x,y?H，(Tx,y)?(x,Ty)．T——自共轭算子． Th．（自共轭算子的充要条件）：H是复的Hilbert空间，T为自共轭算子??x?H，

(Tx,x)为实数．

性质：（1）特征值为实数；

（2）不同特征值的特征向量正交．

投影算子：Px?x0.（x?x0?z，x0?M，z?M?）．

举 例

例1．设X1,X2是l.n.s，T?(X1?X2)，则T?B(X1?X2)?T应某个内部非空的有界集为有界集。

证：(?)设A?X1,A0??（A0是A的内部）

TA?X2有界，取O(a,r)?A（?A0??），r?0,令??sup||Tx||??，

x?A?x?X1,x?0,有a?r||x||?1x?O(a,r)，因此

||T(a?r||x||?1x)||??

可以推出 ||Tx||?||T(a?因此T有界。

(?)显然成立。

rx)?Ta||||x||/r?2?||x||/r ||x|| 例2．设T?B(A?Y)，A是X的稠密子空间，Y完备，则?唯一的T?B(X?Y)，使得TA?T,||T||?||T||。 证：?x?X，取{xn}?A,使xn?x(n??)。因

||Txm?Txn||?||T||||xm?xn||

故 {Txn}是Y中的Cauchy列；由于Y完备，必存在limTxn，记为Tx，这

n????x(xn??A)，?,?}，与{xn}的选取无关（事实上，若xn取{yn}?{x1,x1?,x2,x2??Tx）y?x，则{Tyn}为Cauchy列，Tyn?Tx，则Txn，这样就定义了

一个算子T:X?Y，T显然是线性的，且TA?T。由

||Txn||?lim||T||||xn||?||T||||x|| ||Tx||?limn??n??故 ||T||?||T||，故T?B(X?Y)。 因 ?x?A,||Tx||?||Tx||?||T||||x||， 故||T||?||T||， 因此 ||T||?||T||。

若有某S?B(X?Y)亦满足SA?T,则?x?X，取{xn}?A,，使

xn?x，则Sx?limTxn?Tx，因此S?T（唯一性得证）。

n??例3．设X,Y?????l.n.s.，dimX??，Y?{0}，则存在无界线性算子T:X?Y。

证： ?dimX??，?可取线性独立的可数集A?{xn}?X,可设

||xn||?1,取y?0,y?Y，定义算子T：Tx?ny

T可以自然的扩张到SpanA（如y??x???x???SpanA,Ty??Tx???Tx???Y)。则X可以表示X?SpanAA?B，?x?B定义Tx?0，则

T是一线性算子，T?(X?Y)，因

sup||Tx||?sup||Txn||?sup||ny||???

||x||?1nn故T是无界算子。

例4．设Tnx?(x1,x2,?,xn,0,0,?)，?x?{xn}?l2。证明 Tn?B(l2?l2)，求||Tn||。

证： Tn?B(l2?l2)显然。||Tnx||?||(x1,x2,?,xn,0,0,?)||?||x||,因此

||Tn||?1。

另一方面，设{ei}是l2的标准正交基，则||en||?1，Tnen?en，故

1?||en||=||Tnen||?||Tn||||en||?||Tn||， 故 ||Tn||?1，故||Tn||?1。

例5．给定a?X(l.n.s.)，令?(T)?Ta（T?B(X?X))，证明

??B(B(X?X),求||?||。

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